Lista Resolvida de Sistemas

SISTEMAS LINEARES - LISTA DE EXERCÍCIOS #10

ALUNO:

Marcelo de Souza Colares

JUNHO – 2016

4. For the following state equation

[pic 2]

1) Find two different state feedback u = r – K1x  and u = r- K2x to place the poles at -2+j2, -2-j2, -4.

Try to find K1 and K2 such that one has relatively larger elements and the other one has relatively small elements.

Simulate the system from t=0 to t=10 with x(0)=[1 1 1]’,  xe(0)=[0 0 0]’ and  u=0.

[pic 3]

Plot the  state x(t) and  e = x(t)-xe(t).

[pic 4][pic 5]

2) Use simulink to simulate the closed-loop systems resulting from K1 and K2, respectively, under initial

      condition  x(0)=[1 2 3]’ and r(t) =0.  

Plot y(t) for the two cases in the same figure. [pic 6]

Plot u1(t) for the two cases in the same figure.

[pic 7]

Plot u2(t) for the two cases in the same figure. 

[pic 8]

1. Design a robust tracking  strategy for the system

so that the output y follows a step signal asymptotically.

Choose design parameters so that the closed-loop poles are at  -2+j2, -2-j2, -4 and -8.

Simulate the system (print the simulink model)

 1)  with the given go(s)

2) Keep all the design parameters but replace go(s) with  [pic 9]

Plot y(t) for each of the cases with 0 initial condition for the state.

[pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]        

- Como o rank de GC = 3 = n, o sistema é controlável

[pic 14]

- Como o rank de GO = 1 < n, o sistema não é observável

6.6 – Find the controllability and observability index of the state equation in problem 6.1 and 6.2

a) Sistema da questão 6.1:[pic 15]

b) Sistema da questão 6.2:[pic 16]

- Para o sistema da questão 6.1, a matriz de  controlabilidade é [pic 17].

Como o sistema possui apenas uma entrada o conjunto de índices de controlabilidade possui apenas um elemento, μ1. Como a matriz GC possui rank igual a 3, temos 3 vetores LI. Logo, o índice de controlabilidade será igual a μ1 = μ = 3.

- Para o sistema da questão 6.1, a matriz de observabilidade é [pic 18].

Como o sistema possui apenas uma entrada o conjunto de índices de observabilidade possui apenas um elemento, ν1. Como a matriz GO possui rank igual a 1, temos apenas 1 vetor LI. Logo, o índice de observabilidade será igual a ν1 = ν = 1.

- Para o sistema da questão 6.2, temos que

[pic 19]        

- A matriz de controlabilidade é

[pic 20]

- Como o sistema possui duas entradas, o conjunto de índices de controlabilidade possui dois elementos {μ1, μ2}.

- Os vetores LI da matriz GC, da esquerda para a direita, são:

 [pic 21]

Na matriz acima, verifica-se dois vetores LI relacionados com b1, logo o índice de controlabilidade μ1 é igual a 2. Na mesma matriz verifica-se que só existe um vetor b2, logo o índice de controlabilidade μ2 é igual a 1.

μ1 + μ2 = n                2 + 1 = n

O índice de controlabilidade do sistema é igual a:

μc = max(μ1, μ2) = 2

μc = 2

[pic 22]

- A matriz de observabilidade é

[pic 23]

- O índice de observabilidade do sistema, nesse caso, é obtido diretamente através da matriz de observabilidade. O índice será igual ao rank que vale 3. Logo:

μo = 3

6.8 – Reduce the state equation to a controllable one. Is the reduced equation observable?

[pic 24]

[pic 25]

- Como o rank da matriz de controlabilidade é menor que a ordem da matriz A então o sistema não é controlável.

- Para transformar as matrizes A, B e C na forma controlável, calcula-se a matriz de transformação Q utilizando as primeiras colunas LI da matriz de controlabilidade associada à vetores LI para completer a matriz de ordem n.

[pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

[pic 29]

[pic 30]

A forma reduzida de controlabilidade é:

...