Pesquisa operacional

Programação Linear

Solução para Modelos de com Duas Variáveis de Decisão (x1 e x2)

Método Gráfico

Essa técnica consiste em representar num sistema de eixos ortogonais o conjunto das possíveis soluções do problema, isto é, o conjunto de pontos (x1, x2) que obedecem ao grupo de restrições impostas pelo sistema em estudo. O desempenho do modelo é avaliado através da representação gráfica da função objetivo. As soluções são classificadas de acordo com sua posição no gráfico. A função objetivo também pode ser avaliada calculando-se o seu valor para os pontos que pertencem ao contorno da região viável.

Gráfico do conjunto de soluções

A representação gráfica de uma equação linear com duas variáveis (x1, x2) é uma reta. A representação gráfica de uma inequação linear com duas variáveis (x1, x2) é uma área do gráfico limitada pela reta correspondente à equação. Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 1:  Representar graficamente a inequação: x1 + 2x2 > 10

1. Construir a reta correspondente à equação: x1 + 2x2 = 10 (acompanhe no gráfico a seguir)

Para traçarmos a reta, precisamos de dois pontos. Determinar os pontos de interseção da reta com cada um dos eixos, é mais fácil:

Fazendo x1 = 0, teremos:

0 + 2x2 = 10 (substituímos x1 por 0)

2x2 = 10 (equação a ser resolvida)

x2 = 10/2 (2 que estava multiplicando x2, passa para o outro lado dividindo – operação inversa)

Assim,

x2 = 5

Um dos pontos da reta será: x1 = 0 e x2 = 5, ou seja, o ponto (0, 5).

Procedemos da mesma maneira, agora fazendo x2 = 0. Então teremos:

x1 + 2.0 = 10 (substituímos x2 por 0)

x1 + 0 = 10 (como 2 vezes 0 é igual a 0, temos esta equação a ser resolvida)

Assim,

x1 = 10

O outro ponto da reta será: x1 = 10 e x2 = 0, ou seja, o ponto (10, 0).

A reta é então traçada, conforme o gráfico a seguir. Podemos observar que há uma região sombreada no gráfico, que corresponde à região viável (região de soluções) limitada pela inequação x1 + 2x2 > 10. A região viável, então, é aquela que se encontra na região superior da reta, pois a inequação define que x1 + 2x2 deve ser maior ou igual a 10. No próximo item vamos verificar esta constatação.

[pic 1]

1. Testar a inequação: x1 + 2x2 > 10

Tomamos um ponto qualquer de uma das regiões limitadas pela reta. Consideremos o ponto x1 = 10 e x2 = 5 (conforme mostrado no gráfico anterior).

Substituindo na inequação (x1 + 2x2 > 10), teremos:

10 + 2.5 > 10 ou 20 > 10, o que é verdadeiro. Portanto, a região das soluções da inequação é aquela que contém o ponto testado.

Vamos ainda testar um ponto que não esteja na região sombreada, como o ponto de origem, ou seja, x1 = 0 e x2 = 0.

Substituindo na inequação (x1 + 2x2 > 10), teremos:

0 + 2.0 > 10 ou 0 > 10, o que NÃO é verdadeiro. Portanto, este ponto e os outros que se encontram abaixo da reta não pertencem à região das soluções.

Exemplo 2:  Representar graficamente a solução do sistema:

x1 + 3x2 < 12

2x1 + x2 > 16

x1 > 0

x2 > 0

Solução:

Vamos representar cada uma das retas correspondentes:

1. x1 + 3x2 = 12        se x1 = 0, então 0 + 3 . x2 = 12. Portanto, x2 = 12/3 ou x2 = 4.

se x2 = 0, então x1 + 3 . 0 = 12. Portanto, x1 = 12.

Assim, os pontos que utilizamos para traçar esta reta são: (0, 4) e (12, 0). A região viável limitada por esta reta é aquela que está abaixo da reta, conforme o gráfico abaixo, pois a inequação define que x1 + 3x2 deve ser menor ou igual a 12.

1. 2x1 + x2 = 16        se x1 = 0, então 2.0 + x2 = 16. Portanto, x2 = 16.

se x2 = 0, então 2.x1 + 0 = 16. Portanto, x1 = 16/2 ou x1 = 8.

Os pontos que utilizamos para traçar esta reta são: (0, 16) e (8, 0). A região viável limitada por esta reta é aquela que está acima da reta, conforme o gráfico abaixo, pois a inequação define que 2x1 + x2 deve ser maior ou igual a 16.