Algoritmos recursivos

Algoritmos recursivos

Um método comum de simplificação consiste em dividir um problema em subproblemas do mesmo tipo. Como técnica de programação, isto se denomina divisão e conquista, e constitui a chave para o desenvolvimento de muitos algoritmos importantes, bem como um elemento fundamental do paradigma de programação dinâmica.

Praticamente todas as linguagens de programação usadas hoje em dia permitem a especificação direta de funções e procedimentos recursivos. Quando uma função é invocada, o computador (na maioria das linguagens sobre a maior parte das arquiteturas baseadas em pilhas) ou a implementação da linguagem registra as várias instâncias de uma função (em muitas arquiteturas, usa-se uma pilha de chamada, embora outros métodos possam ser usados). Reciprocamente, toda função recursiva pode ser transformada em uma função iterativa usando uma pilha.

Toda função que puder ser produzida por um computador pode ser escrita como função recursiva sem o uso de iteração; reciprocamente, qualquer função recursiva pode ser descrita através de iterações sucessivas.

Um exemplo simples poderia ser o seguinte: se uma palavra desconhecida é vista em um livro, o leitor pode tomar nota do número da página e colocar em uma pilha (que até então está vazia). O leitor pode consultar esta nova palavra e, enquanto lê o texto, pode achar mais palavras desconhecidas e acrescentar no topo da pilha. O número da página em que estas palavras ocorrem também são colocados no topo da pilha. Em algum momento do texto, o leitor vai achar uma frase ou um parágrafo onde está a última palavra anotada e pelo contexto da frase vai descobrir o seu significado. Então o leitor volta para a página anterior e continua lendo dali. Paulatinamente, remove-se seqüencialmente cada anotação que está no topo da pilha. Finalmente, o leitor volta para a sua leitura já sabendo o significado da(s) palavra(s) desconhecida(s). Isto é uma forma de recursão.

Algumas linguagens desenvolvidas para programação lógica e programação funcional permitem recursões como única estrutura de repetição, ou seja, não podem usar laços tais como os produzidos por comandos como for, while ou repeat. Tais linguagens geralmente fazem uma recursão em cauda tão eficiente quanto a iteração, deixando osprogramadores exprimirem outras estruturas de repetição (tais como o map e o for do Scheme) em termos de recursão.

A recursão está profundamente entranhada na Teoria da computação, uma vez que a equivalência teórica entre as funções -recursivas e as máquinas de Turing está na base das idéias sobre a universalidade do computador moderno.

Programação recursiva

Em geral, uma definição recursiva é definida por casos: um número limitado de casos base e um caso recursivo. Os casos base são geralmente situações triviais e não envolvem recursão.

Um exemplo comum usando recursão é a função para calcular o fatorial de um natural N. Nesse caso, no caso base o valor de 0! é 1. No caso recursivo, dado um N > 0, o valor de N! é calculado multiplicando por N o valor de (N-1)!, e assim por diante, de tal forma que N! tem como valor N * (N-1) * (N-2) * ... * (N-N)!, onde (N-N)! representa obviamente o caso base. Em termos recursivos:

função fatorial(x: inteiro): inteiro

inicio

se x = 0 então

fatorial <- 1

senão

fatorial <- x * fatorial(x - 1)

fim_se

fim

Aqui está a mesma função codificada sem recursão. É importante mencionar que esta solução iterativa requer duas variáveis temporárias; em geral, formulações recursivas de algoritmos são freqüentemente consideradas "mais enxutas" ou "mais elegantes" do que formulações iterativas.

função fatorial(x: inteiro): inteiro

var i, aux: inteiro

inicio

aux <- 1

para i de 1 até x faça

aux <- aux * i

fim_para

fatorial <- aux

fim

Recursão versus Iteração

No exemplo do fatorial, a implementação iterativa tende a ser ligeiramente mais rápida na prática do que a implementação recursiva, uma vez que uma implementação recursiva precisa registrar o estado atual do processamento de maneira que ela possa continuar de onde parou após a conclusão de cada nova execução subordinada do procedimento recursivo. Esta ação consome tempo e memória. (Note que a implementação de uma função fatorial para números naturais pequenos é mais rápida quando se usa uma tabela de busca.)

Existem outros tipos de problemas cujas soluções são inerentemente recursivas, já que elas precisam manter registros de estados anteriores. Um exemplo é o percurso de uma árvore; outros exemplos incluem a função de Ackermann e algoritmos de divisão e conquista, tais como o Quicksort. Todos estes algoritmos podem ser implementados iterativamente com a ajuda de uma pilha, mas o uso de uma pilha, de certa forma, anula as vantagens das soluções iterativas.

Outra possível motivação para se escolher um algoritmo iterativo ao invés de um algoritmo recursivo é que nas linguagens de programação modernas o espaço disponível para o fluxo de controle é geralmente bem menor que o espaço disponível no heap, e algoritmos recursivos tendem a necessitar de mais espaço na pilha do que algoritmos iterativos.

Funções recursivas

Funções cujos domínios podem ser definidos recursivamente (tal como o domínio dos números naturais) possuem frequentemente definições recursivas que seguem a definição recursiva do domínio (no caso dos naturais, definimos o comportamento da função com entrada 0, e para cada entrada positiva definimos o comportamento da função recursiva a partir de seu comportamento com entrada ).

O exemplo clássico de uma função definida recursivamente é a seguinte definição da função :

A partir desta definição, também chamada relação de recorrência, calculamos da seguinte forma:

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