Distribuição dos salários

COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III

3ª SÉRIE – MATEMÁTICA I – PROFº WALTER TADEU

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MÉDIAS ESTATÍSTICAS – 2010 - GABARITO

1. (FUVEST-93) A distribuição dos salários de uma empresa é dada na tabela a seguir:

a) Qual é a média e qual é a mediana dos salários dessa empresa?

b) Suponha que sejam contratados dois novos funcionários com salários de Cr$2.000.000,00 cada, A variância da nova distribuição de salários ficará menor, igual ou maior que a anterior?

Solução. a) A média (aritmética) é o quociente entre o produto das variáveis pela freqüência em que ocorreram e o total de dados:

A mediana é o elemento que ocupa a posição que divide os valores ordenados em subconjuntos de mesma quantidade. Como há 31 dados. A Mediana ocupará a posição. Somando as frequências verificamos que Md = R$1500000,00.

b) A variância para dados agrupados é: . Representando os salários em milhões, temos: .

Adicionando mais dois trabalhadores com 2 milhões, a nova média será . A nova variância V’ será:

. Repare que os dois novos valores anularam-se, pois são iguais à média. Logo a variância diminui.

2. (UNIRIO-98) Um dado foi lançado 50 vezes. A tabela a seguir mostra os seis resultados possíveis e as suas respectivas freqüências de ocorrências. A frequência de aparecimento de um resultado ímpar foi de:

( ) 2/5 ( ) 11/25 ( X ) 12/25 ( ) 1/2 ( ) 13/25

Solução. Observando a tabela os resultados ímpares foram 1 (7 vezes); 3 (8 vezes) e 5 (9 vezes). Logo, a frequência em relação ao total é: .

3. (UnB-99) A tabela adiante apresenta o levantamento das quantidades de peças defeituosas para cada lote de 100 unidades fabricadas em uma linha de produção de autopeças, durante um período de 30 dias úteis.

Considerando S a série numérica de distribuição de freqüências de peças defeituosas por lote de 100 unidades, julgue os itens abaixo (V – verdadeiro; F – falso).

( F ) A moda da série S é 5.

( V ) Durante o período de levantamento desses dados, o percentual de peças defeituosas ficou, em média, abaixo de 3,7%.

( V ) Os dados obtidos nos 10 primeiros dias do levantamento geram uma série numérica de distribuição de freqüências com a mesma mediana da série S.

Solução. Organizando os dados numa distribuição de freqüência, temos:

i) O número de peças com maior freqüência foi 3 peças, ocorrendo 6 vezes. Logo, Mo = 3.

ii) A média nos 30 dias é:

.

iii) O número de dados é par em ambos. Logo para 30 dias as posições serão a 15ª e 16ª. A mediana é: . Para os 10 dias as posições são 5ª e 6ª. A mediana é: .

4. (FUVEST) Numa classe com 20 alunos, as notas do exame final podiam variar de 0 a 100 e a nota mínima para aprovação era 70. Realizado o exame, verificou-se que oito alunos foram reprovados. A média aritmética das notas destes 8 alunos foi 65, enquanto a média dos aprovados foi 77. Após a divulgação dos resultados, o professor verificou que uma questão havia sido mal formulada e decidiu atribuir 5 pontos a mais para todos os alunos. Com essa decisão, a média dos aprovados passou a ser 80 e a dos reprovados 68,8.

a) Calcule a média das notas da classe toda antes da atribuição dos 5 pontos extras.

Solução. As médias de cada grupo é o quociente do somatório de suas notas pelo número do grupo. Para cada caso temos:

b) Com a atribuição dos 5 pontos extras, quantos alunos, inicialmente reprovados, atingiram a nota para a aprovação?

Solução. Utilizando a propriedade que se um conjunto de valores é aumentado da mesma quantidade, a média aritmética fica aumentada deste mesmo valor, temos:

Logo, após a atribuição dos 5 pontos extras o número de reprovados passou a ser 5 alunos. Significa que 3 alunos que estavam reprovados atingiram a nota de aprovação.

5. (UFF) Para que a média aritmética das notas de uma turma de 20 alunos aumentasse em 0,1, alterou-se

uma dessas notas para 7,5. Antes da alteração, de quanto era essa nota?

( X ) 5,5 ( ) 6,0 ( ) 7,4 ( ) 7,5 ( ) 8,5

Solução. A média original é dada por , onde N é a nota que será mudada. Após a mudança da nota N para 7,5 a média ficou . Substituindo os valores e resolvendo, temos: .

6. (FGV-2001) Um investidor aplicou seu patrimônio em 5 ações por 1 ano. A taxa média de rentabilidade (média aritmética) foi de 12% ao ano. A ação mais lucrativa rendeu 25% ao ano. Se essa ação for eliminada, qual será a taxa média de rentabilidade das 4 restantes?

( X ) 8,75% ao ano ( ) 9% ao ano ( ) 9,25% ano ( ) 9,5% ao ano ( ) 9,75% ao ano

Solução. Representando a situação de cada ação, temos:

Retirando a ação de 25%, temos: .

7. (Enem) Um pátio de grandes dimensões vai ser revestido por pastilhas quadradas brancas e pretas, segundo o padrão representado ao lado, que vai ser repetido em toda a extensão do pátio. As pastilhas de cor branca custam R$