Vetores

EXERCÍCIOS DE CÁLCULO II – 1a LISTA

Obs.: As letras em negrito representam vetores.

1 – Exprimir, nos exercícios de A a J, cada um dos vetores na forma ai + bj.

A – (P_1 P_2 ) ⃗ sendo P1 o ponto (1,3) e P2 o ponto (2,-1).

B - (〖OP〗_3 ) ⃗, sendo O a origem e P3 o ponto médio do vetor (P_1 P_2 ) ⃗ que une P1 (2,-1) a P2(-4,3).

C – O vetor do ponto A (2,3) à origem.

D – A soma dos vetores (AB) ⃗ e (CD) ⃗, dados A (1,-1), B (2,0), C (-1,3) e D (-2,2).

E – A diferença (AB) ⃗ - (CD) ⃗, dos vetores do item D.

F – Um vetor unitário formando ângulo de 30o com a parte positiva do eixo-x.

G – O vetor unitário obtido da rotação de j de um ângulo de 120o no sentido horário.

H – Um vetor unitário de mesma direção que o vetor 3i – 4j.

I – Um vetor unitário tangente à curva y = x2 no ponto (2,4).

J – Um vetor unitário normal à curva y = x2 no ponto P (2,4) e dirigido de P para o lado côncavo da curva (isto é, uma normal “interior”).

2 - Calcular o módulo de cada um dos seguintes vetores, e o ângulo que forma com a parte positiva do eixo-x.

A) i + j B) 2i – 3j C) √3i + j

D) -2i + 3j E) 5i + 12j F) -5i – 12j

3 – Expresse cada vetor abaixo como um produto de seu módulo e seu versor:

A) 5i + 12j B) 2i – 3j

4 – Encontre os vetores unitários tangentes e normais à curva no ponto dado.

A) y = x2 , em P(2,4) B) x2 + y2 = 6 , em P(2,1)

5 – Nos exercícios abaixo, determine: a) v•u, |v| e |u|; b) o cosseno do ângulo entre v e u; c) a componente escalar de u na direção de v; d) o vetor projv u.

A) v = 2i – 4j e u = 2i + 4j B) v = 2i + 10j e u = 2i + 2j

C) v = -i + j e u = √2 i+ √3 j D) v = 5i + j e u = 2i + √17 j

6 – Encontre os ângulos entre os vetores nos exercícios abaixo:

A) v = 2i + j e u = i + 2j B) v = 2i – 2j e u = 3i

C) v = √3i – 7j e u = √3i + j D) v = i + √2j e u = -i + j

7 – Nos exercícios abaixo encontre uma equação para a reta que passa pelo ponto P e é perpendicular a v.

A) P (2,1) e v = i + 2j B) P (-2,-7) e v = -2i + j

8 - Nos exercícios abaixo encontre uma equação para a reta que passa pelo ponto P e é paralela a v.

A) P (-2,1) e v = i – j B) P (1,2) e v = -i -2j

9 – Nos exercícios abaixo encontre os ângulos agudos entre as retas:

A) 3x + y = 5 e 2x – y = 4 B) 3x – 4y = 3 e x – y = 7

10 – “Os ângulos entre duas curvas deriváveis em um ponto de interseção são os ângulos