Estatistica Aplicada

TIAE, Aula 5, 2 Março 2004

Pedro Cosme da Costa Vieira

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Medidas de dispersão

Noção de Amplitude, Variância e Desvio Padrão

Quando usamos uma “medida de tendência central” , a média, a mediana ou a moda, para caracterizar uma amostra, esquecemo-nos de dizer se existe muita variabilidade dos indivíduos ou não. Por exemplo, saber que o rendimento per capita médio dos EUA (31338$ de 95 em 2000) é igual ao rendimento per capita médio da Islândia (31342$ de 95 em 2000), não nos permite saber se existe uma maior percentagem de pobres nos EUA do que na Islândia.

No sentido de caracterizar a heterogeneidade da amostra temos que acrescentar à medida de tendência central, uma medida de dispersão, enriquecendo-se assim a descrição da população.

Amplitude da população

A amplitude traduz a diferença máxima observada entre dois indivíduos da população (em termos de variável estatística). Depois de ordenados os indivíduos, a amplitude quantifica-se pela diferença entre o “maior” indivíduo e “menor” indivíduo:

A principal desvantagem da Amplitude é que é muito sensível aos indivíduos extremos, sendo muito influenciável por outliers. Outra desvantagem é não ter em consideração todos os indivíduos mas apenas os dois extremos. Finalmente, quando a variável estatística é discretas (classes), desde que exista pelo menos um indivíduo nas classes extremas, a amplitude é sempre máxima, independentemente da heterogeneidade da amostra.

Propriedades da amplitude

a) A amplitude de uma população formada por indivíduos iguais é zero.

b) A amplitude do produto de uma constante (diferente de zero) por uma variável estatística é igual ao produto da constante pela amplitude da variável estatística

c) A amplitude da soma de uma constante com uma variável estatística é igual à amplitude da variável estatística.

Variância (desvio quadrático médio)

A variância amostral quantifica a distância ao quadrado média dos indivíduos ao ponto central (desvio quadrático médio). Sendo o ponto central, então a variância amostral, S2, vem dada por:

A variância amostral representa na Física a dificuldade de um corpo alterar a velocidade de rotação (mede a inércia angular do corpo material). A sua importância deriva de, em termos teóricos, o comportamento dinâmico de dois corpos ser idêntico se tiverem a mesma inércia angular (variância) e o mesmo centro de massa (ponto médio). Por semelhança com o sistema físico, duas populações serão semelhantes se tiverem a mesma média e a mesma variância.

Propriedades da variância

a) A variância de uma amostra formada por indivíduos iguais é zero.

b) A variância do produto de uma constante por uma variável estatística é igual ao produto do módulo da constante pela variância da variável estatística

c) A variância da soma de uma constante com uma variável estatística é igual à variância da variável estatística.

d) A variância da soma de duas variáveis estatísticas é igual à soma das variâncias de cada variável mais duas vezes um termo (a covariância) que pode ter valor negativo, zero ou positivo: .

Como veremos quando falarmos do modelo de regressão, a covariância é uma medida estatística importante porque mede a associação estatística entre duas variáveis.

Desvio Padrão

A variância, por ser a média de uma distância ao quadrado, está explicitada em “unidade ao quadrado”, o que tem leitura difícil. Por exemplo, se a variável estatística é a altura dos indivíduos, uma determinada população ter uma média de altura