Estudo de Equações Diferenciais Ordinárias

Estudo de Equações Diferenciais Ordinárias

Observações Históricas

O desenvolvimento das equações diferenciais está diretamente ligado com o desenvolvimento da matemática. A fim de se ter uma certa perspectiva histórica, vamos traçar algumas tendências principais na história do problema e identificar as personalidades contribuidoras mais eminentes.

O estudo das EDO's inaugurou-se no início do cálculo, com Isaac Newton (1642-1727) e Leibniz (1646-1716), no século XVII. Embora Newton tenha trabalhado relativamente pouco no campo das equações diferenciais, o desenvolvimento que proporcionou ao cálculo e à elucidação dos princípios básicos da mecânica construíram a base para as aplicações que se fizeram no século XVIII, por Euler. Newton classificou as equações diferenciais de primeira ordem de acordo como as formas dy/dx = f(x), dy/dx = f(y) e dy/dx = f(x,y).

Leibniz chegou aos resultados fundamentais do cálculo por via independente, embora um pouco posterior a Newton, mas foi o primeiro a publicálos, em 1684. Leibniz tinha plena consciência do poder de uma boa notação matemática e a notação que usamos para a derivada (dy/dx), e para a integração, foram introduzidas por ele. Descobriu o método de separação das variáveis em 1691, a redução de equações homogêneas e equações separáveis, e o procedimento de resolução de equações lineares de primeira ordem em 1694.

Os irmãos Jakob (1654-1705) e Johann (1667-1748) Bernoulli, contribuíram muito para o desenvolvimento de métodos de resolução de equações diferenciais e para ampliar o campo de aplicação destas equações. Com o auxílio do cálculo formularam como equações diferenciais muitos problemas de mecânica e os resolveram. Por exemplo, Jakob Bernoulli resolveu a equação diferencial y’ = [a³/(b²y - a³)]½ em 1690 e, no mesmo artigo usou pela primeira vez o termo "integral" no sentido moderno. Em 1694, Johann Bernoulli resolveu a equação dy/dx = y/ax, embora não se soubesse na época, que d(ln x) = dx/x.

Euler teve especial interesse na formulação de problemas de mecânica em linguagem matemática e o desenvolvimento de métodos de resolução destes problemas matemáticos, identificou a condição de exatidão das equações diferenciais de primeira ordem em 1734-1735, desenvolveu a teoria dos fatores de

Estudo de Equações Diferenciais Ordinárias integração e apresentou a solução geral das equações lineares com os coeficientes constantes em 1743.

No que se refere às equações diferenciais elementares, Joseph-Louis

Lagrange (1736-1813) mostrou em 1762-1765 que a solução de uma equação diferencial homogênea de ordem n é uma combinação linear de n soluções independentes. Depois, em 1774-1775, publicou o desenvolvimento completo do método da variação de parâmetros. Lagrange também é conhecido pelo seu tratamento fundamental nas equações diferenciais parciais e no cálculo das variações.

A equação de Laplace é fundamental em muitos ramos da física matemática, e Pierre-Simon de Laplace estudou-a profundamente em suas investigações da atração gravitacional. A transformada de Laplace também recebeu o nome em sua homenagem, embora sua utilidade para a solução de equações diferenciais só tenha sido reconhecida muito mais tarde.

As diversas equações diferenciais que resistiram à resolução por meios analíticos levaram à investigação de métodos numéricos de aproximação. Na altura de 1900, métodos de integração numérica, muito eficientes, já tinham sido elaborados, mas a implementação destes métodos estava severamente restringida pela necessidade de execução de cálculos manuais ou com equipamento de computação muito primitivo. Nos últimos cinqüenta anos, o desenvolvimento de computadores cada vez mais poderosos e versáteis ampliou a gama de problemas que podem ser investigados com eficiência por meio de métodos numéricos. Durante o mesmo período, desenvolveram-se integradores numéricos muito refinados e robustos, que se encontram em todos os centros de computação científica.

Uma outra característica das equações diferenciais no século X foi a criação de métodos geométricos ou topológicos, especialmente para as equações não-lineares. Assim, embora as equações diferenciais sejam um tema antigo, a respeito do qual seja grande o conhecimento, tornou-se no final do século X uma fonte de problemas fascinantes e importantes, ainda não resolvidos.

Estudo de Equações Diferenciais Ordinárias

Classificação das EDO's

Muitos problemas significativos da engenharia, das ciências físicas e das ciências sociais, formulados em termos matemáticos, exigem a determinação de uma função que obedece a uma equação que contém uma ou mais derivadas da função desconhecida. Estas equações são equações diferenciais.

Temos as equações diferenciais ordinárias e equações diferenciais parciais. Uma das classificações se baseia em a função desconhecida depender de uma só variável ou de diversas variáveis. No primeiro caso, na equação diferencial só aparecem derivadas ordinárias e a equação é uma equação diferencial ordinária. No segundo caso, as derivadas são derivadas parciais, e a equação é uma equação diferencial parcial. Como um exemplo para equações diferenciais ordinárias, temos:

tdR −=, onde K é uma constante conhecida. Um exemplo

típico de equação diferencial parcial é a equação do potencial:

dy yxuddx yxud

A equação do potencial aparece em muitos problemas de eletricidade e magnetismo.

Sistemas de equações diferenciais é uma outra classificação que depende do número de funções desconhecidas que estão envolvidas. Quando forem duas ou mais as funções desconhecidas, é necessário ter um sistema de equações.

A ordem de uma equação diferencial é a ordem de derivada de maior ordem que aparece na equação. De uma forma mais geral, a equação F[t, u(t), u’(t),…, u(n)(t)] = 0 é uma equação diferencial de ordem n. Esta equação pode ser escrita como F(t, y, y’,…, y(n)) = 0.

Por exemplo, y’’’ + 2ety’’ + y’ = t4 é uma equação diferencial de terceira ordem em y = u(t). Admitindo-se que é sempre possível resolver uma dada equação diferencial ordinária na derivada de ordem mais elevada e ter y(n) = f(t, y, y’, y’’,…,

Uma