O derivado

EFda é o coeficiente de inclinação da reta tangente ao gráfico de uma função y = f(x) em um determinado ponto P=(x0, f(x0)). Ela pode ser calculada através da fórmula:

d/dx [f(x)] = lim(x->x0, f(x)x-f(x0)/x-x0)” width=”185″ height=”43″ /></p>

<p style=Ou, se chamarmos x – x0 de h, podemos usar a fórmula:

d/dx [f(x))] = lim(h->0. (f(x0+h) – f(x0)/h)” width=”217″ height=”39″ /></p>

<p style=Ambas as fórmulas estão corretas, mas dependendo da situação é mais conveniente usar uma ou outra.

Além da notação dx/dx, que se lê “a derivada de y em relação a x”, é muito comum utilizarmos uma linha para representála, como f'(x), que representa a derivada de f(x).

A derivada possui uma infinidade de aplicações nos ramos da Matemática, da Física e da Engenharia. Ela pode ser utilizada, por exemplo, para calcular a velocidade instantânea de um corpo ou de uma partícula em um instante t ou para resolver problemas que envolvam a variação de duas grandezas.

É interessante notar que a derivada sempre será um limite que resultará em uma situação 0/0, o que exigirá sua simplificação para alcançarmos seu verdadeiro valor. Por ser um limite, uma função apenas será diferenciável (um outro nome para derivável) em certo ponto se o limite da fórmula da derivada existir naquele ponto. De forma geral, uma função f(x) não será derivável em pontos que tenham bico ou em cuja reta tangente seja vertical. Ainda, se f(x) for diferenciável em um ponto x0, então f(x) é contínua em x0, mas a recíproca não é verdadeira!

Como recorrer às fórmulas acima toda a vez que se quer calcular uma derivada pode ser algo cansativo, existem alguns “truques” que podem auxiliar na obtenção do famigerado valor:

1) A derivada da soma é a soma das derivadas:

A derivada da soma é a soma das derivadas

2) A derivada da diferença é a diferença das derivadas:

A derivada da diferença é a diferença das derivadas

3) Ao contrário do que você possa estar pensando, a derivada do produto NÃO é o produto das derivadas; ao invés, ela é calculada através da fórmula abaixo, descoberta por Leibniz:

d/dx(f(x)g(x)) = f(x)d/dx(g(x))+g(x)d/dx(f(x))

4) Da mesma forma, a derivada do quociente NÃO é o quociente das derivadas, mas é obtida através da fórmula abaixo, desde que g(x) seja diferente de 0:

Derivada do quociente

5) A derivada de uma constante é sempre igual a 0.

6) A derivada de uma função potência na forma f(x) = xn é f'(x) = nxn-1 ou, em outras palavras, baixa-se e diminui o expoente (o expoente torna-se coeficiente de x e o novo expoente de x é o expoente original menos 1). Isso vale pexpoentes Naturais, Inteiros, Racionais e Irracionais.

Exemplos:

d/dx (5) = 0

d/dx x4 = 4x3

f(x)=3x; g(x)=2x2; d/dx(f(x)+g(x))=3 + 2.2x = 3 + 4x

No próximo post, veremos como calcular a derivada de uma função composta utilizando a regra da cadeia. Até!

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5 thoughts on “Entendendo o que é a derivada”

Pedro Augusto says:

11 de abril de 2012 at 21:15

Muito bom! De forma simples e clara, você explicou uma definição bem direta de derivada. Eu estava estudando por um livro que só jogava as fórmulas e não definia nada. Valeu mesmo, e parabéns pelo post! Muito boa a redação.

Responder

claudio vitorio says:

13 de outubro de 2012 at 14:48

o que significa derivada de uma funçao num determinado ponto

Responder

Gabriel Delini says:

13 de março de 2014 at 13:10

Muito bom o resumo da deriva para compreensão de todos e ajuda na resolução