Solução da Prova da 2.ª fase OBMEP 2018 -Nível 2

Solução da prova da 2.ª fase OBMEP 2018 - Nível 2

QUESTÃO 1

a) As páginas pares do álbum têm os números 2, 4, 6, ..., 60 num total de 60 ÷ 2 = 30 páginas e as páginas ímpares têm os números 3, 5, ..., 61. Como existe uma página ímpar ao lado de cada página par, então o número de páginas ímpares também é 30. Portanto, o número total de figurinhas que devem ser coladas no álbum é

30x5+30x6=150+ 180 =330

b) Para cada conjunto de duas páginas, uma par e outra ímpar, como mostrado na ilustração, são coladas 5 + 6 = 11 figurinhas. Por exemplo, nas páginas 2 e 3, colamos 11 figurinhas, nas páginas 4 e 5 também são coladas 11 figurinhas etc. Assim, dividindo 196 por 11, podemos localizar o conjunto de duas páginas onde deve ser colada a figurinha 196 e a posição dessa figurinha nesse conjunto de páginas. O quociente da divisão de 196 por 11 é 17 e o resto é 9. Assim, a figurinha 196 está no 18º conjunto de páginas, ou seja, nas páginas 36 e 37, e na 9ª posição dentre as 11 figurinhas aí coladas. Como 5 figurinhas devem ser coladas na página par, a figurinha de número 196 deve ser colada na página ímpar, ou seja, na página 37.

c) Joãozinho comprou 330 figurinhas que foram coladas e 8 vezes 330 figurinhas que vieram repetidas. Portanto, ele comprou 9 x 330 = 2970 figurinhas, num total de 2970 ÷ 5 = 594 pacotes. Como cada pacote custou 2 reais, foram gastos 594 x 2 = 1188 reais na compra das figurinhas. Como o álbum custou 20 reais, Joãozinho gastou ao todo 20 + 1188 = 1208 reais para ter seu álbum completo.

QUESTÃO 2

a) Para que o número 14A8 seja interessante devemos ter: 1 x 4 x A = 8; logo, A = 2.

b) Queremos os números interessantes do tipo ABC6. Isso implica que A x B x C = 6. Temos dois casos a considerar:

• O número 6 é obtido pelo produto de 1, 2, e 3. Pelo Princípio Multiplicativo da Contagem, temos 3 x 2 x 1 = 6 números interessantes distintos (permutações de três elementos). É fácil encontrá-los: 1236, 1326, 2136, 2316, 3126 e 3216.

• O número 6 obtido pelo produto de 1, 1 e 6. Temos 3 números interessantes (basta escolher a posição do 6); são eles: 1166, 1616 e 6116.

Portanto, temos um total de 9 números interessantes de quatro algarismos cujo algarismo da unidade é 6.

c) Neste item queremos contar quantos são os números interessantes da forma ABCD0 Para que o produto de 4 números naturais seja 0, isto é, para que A x B x C x D = 0, pelo menos um deles deve ser 0. Podemos, assim, separar os números ABCD de acordo com o número de 0's que comparecem entre seus algarismos.

• Com apenas um 0 temos 3 x 9 x 9 x 9 escolhas possíveis, três para a posição do 0 (que não pode ser na posição A) e, além disso, as outras três posições podem ser ocupadas por quaisquer dos algarismos de 1 a 9.

• Com dois 0's temos 3 x 9 x 9 possibilidades; o fator 3 aparece devido às escolhas das posições dos dois 0's; as outras duas posições restantes podem ser ocupadas por quaisquer algarismos de 1 a 9.

• Com três 0's temos 9 possibilidades.

Logo, existem 3 x 93 + 3 x 92 + 9 = 2439 números interessantes de 5 algarismos que terminam com o algarismo 0.

QUESTÃO 3

a) A folha azul tem 18 cm2 de área. A folha amarela tem 36 cm2 e, ao ser coberta pela folha azul, deixa visível uma região amarela, cuja área é 36 –18 = 18 cm2. A folha verde tem 64 cm2 e, ao ser coberta pela folha amarela, deixa visível uma região verde, cuja área é 64 –36 = 28 cm2. Portanto, a região de maior área é a verde.

b) Ao ser colocada sobre a folha verde, a folha amarela esconde uma área verde igual à sua própria área. Portanto, a soma das áreas das regiões verde e amarela, sem a folha azul, é igual à área da folha verde. Quando a folha azul é colocada sobre essas duas folhas, ela esconde uma área formada pelas regiões verde e amarela igual à sua própria área. Portanto, a soma das áreas verde e amarela, não escondidas pela folha azul, é igual a 64 –18 = 46 cm2.

c) Como a folha verde tem área igual a 64 cm2, seus lados medem 8 cm, pois 8 x 8 = 64. A folha amarela tem 36 cm2, logo seus lados medem 6 cm, já que 6 x 6 = 36. Assim, na figura, vemos que a distância entre os lados inferiores (e também entre as laterais do lado direito) dessas duas folhas é 8 –6 = 2 cm. Como a distância do vértice da folha azul ao vértice inferior esquerdo da folha verde é de 3 cm, a distância entre a diagonal vertical da folha azul e o lado direito da folha amarela é 3 –2 = 1 cm,

O mesmo ocorre com a diagonal horizontal da folha azul e o lado inferior da folha amarela. Assim, a parte da folha azul que cobre a folha amarela, é um pentágono que pode ser decomposto em quatro pedaços: um quadrado 1 x 1, dois trapézios iguais e um triângulo retângulo. A área do triângulo retângulo com dois lados de 3 cm é igual a 4,5 cm2. Os dois trapézios azuis têm áreas iguais à área do triângulo retângulo menos a área de um triângulo retângulo com lados menores de 2 cm, ou seja, 3x3/2 – 2x2/2 = 9/2 – 4/2 = 5/2 = 2,5 cm2.

A área do quadrado é cm2. Portanto, a área da parte da folha azul que cobre a folha amarela é igual a 4,5 + 2 x 2,5 + 1 = 10,5 cm2.

Consequentemente, a área da região amarela é igual a 36 –10,5 = 25,5 cm2.

QUESTÃO 4

a) De acordo com o enunciado, a soma dos números escritos em três círculos alinhados e consecutivos é sempre a mesma. Assim, olhando para a figura abaixo, vemos que será escrito o mesmo número, que denotaremos por 𝑥, nos dois círculos entre os círculos em que estão escritos os números 2 e 3.

Além disso, se em dois de três círculos alinhados e consecutivos estiverem escritos os números 2, 3 ou 𝑥, sempre será possível saber o número que está escrito no terceiro círculo. Desta forma, é possível completar a escrita dos números em todos os círculos que estão alinhados com os círculos em que estão escritos 2, 3 e 𝑥, como abaixo:

Logo, deverá ser escrito o número 3 no círculo vermelho. Isto responde o item a).

b) Seguindo o mesmo raciocínio do item anterior, “se em dois de três círculos alinhados e consecutivos estiverem escritos os números 2, 3 ou 𝑥, sempre será possível saber

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