A equação de Bernoulli

Equação de Bernoulli

A energia potencial da água muda enquanto ela se move. Enquanto que a água se move, a mudança na energia potencial é a mesma que aquela de um volume V que se movimentou da posição 1 para a posição 2. A energia potencial da água no resto do tubo é a mesma que a energia potencial da água antes do movimento. Logo, temos que

mudança na energia potencial = massa da água em V  g  mudança na altitude

= densidade  V  g  (h2 � h1) =  V g (h2 � h1).

A energia cinética da água também muda. Novamente, só precisamos achar a mudança na energia cinética em um pequeno volume V, como se a água na posição 1 fosse substituida pela água na posição 2 (veja a figura acima). A energia cinética da água no resto do tubo é a mesma que a energia cinética antes do movimento. Logo, temos que

mudança na energia potencial = ½ m v22 � ½ m v12 = ½  V v22 � ½  V v12.

Se a força sobre a água na posição 1 é diferente do que a força da água na posição 2, existe um trabalho sobre a água à medida que ela se move. A quantidade de trabalho é W = F1 l1 � F2 l2. Mas, força = pressão vezes área, de modo que W = p1 A1 l1 � p2 A2 l2 = p1 V - p2 V .

O trabalho deve ser igual à mudança na energia. Logo,

p1 V - p2 V =  V g (h2 � h1) + ½  V v22 � ½  V v12

ou

p1 V +  V g h1+ ½  V v12 = p2 V +  V g h2 + ½  V v22.

Dividindo por V, temos que

p1 +  g h1+ ½  v12 = p2 +  g h2 + ½  v22 [1.5]

ou

p +  g h+ ½  v2= constante. [1.6]

Esta é a equação de Bernoulli. Ela implica que, se um fluido estiver escoando em um estado de fluxo contínuo, então a pressão depende da velocidade do fluido. Quanto mais rápido o fluido estiver se movimentando, tanto menor será a pressão à mesma altura no fluido.