Distribuiçoes De Gauss, Bernoulli E Pascal

Distribuição de Gauss

É a mais importante distribuição de probabilidade para descrever uma variável aleatória contínua.

Importância

Retrata com boa aproximação, as distribuições de frequência de muitos fenômenos naturais e físicos.

Serve como aproximação das probabilidades binomiais (sim ou não) quando n é grande.

Representa a distribuição das médias e proporções em grandes amostras, o que tem relevante implicação na amostragem (a mais importante).

Aplicações

Uma importante aplicação da distribuição de Gauss está relacionada com o cálculo de probabilidade de ocorrência de um dado evento dentro de uma distribuição qualquer. Seja a função gaussiana de densidade de probabilidade definida por:

G(y) = 1/(σ√2 π) e (-1(x-μ)^2)/(2σ^2 )

Z=(Xi-μ)/σ

→ Formula para população.

.

Z=(Xi- )/S

→ Formula para amostra.

Onde:

Z = número de desvios-padrões, a contar da média;

X = valor qualquer da variável aleatória;

µ = média da distribuição;

σ = desvio-padrão da distribuição.

OBSERVAÇÃO:

x - µ = distância do ponto considerado à média

z = (x-μ)/σ número de desvios padrões a contar da média. Ex.: 2,5 desvios padrões.

z = valor z ou score z. Pode-se obter valores negativos de z para valores de x inferiores à média.

Utilidades

Uma interessante utilidade da Distribuição de Gauss é que ela serve de aproximação para o cálculo de outras distribuições quando o número de observações fica grande. Essa importante propriedade provém do Teorema do Limite Central que diz que "toda soma de variáveis aleatórias independentes de média finita e variância limitada é aproximadamente Normal, desde que o número de termos da soma seja suficientemente grande" (ver o teorema para um enunciado mais preciso).

Além de descrever uma série de fenômenos físicos e financeiros, possui grande uso na estatística inferencial. É inteiramente descrita por seus parâmetros de média e desvio padrão, ou seja, conhecendo-se estes se consegue determinar qualquer probabilidade em uma distribuição Normal.

Biografia de Gauss

Carl Friedrich Gauss nasceu em 1777 e viveu até 1855. Considerado como um dos maiores matemáticos de todos os tempos, Gauss nasceu em Brunswick na Alemanha, tendo demonstrado desde muito cedo habilidades em matemática.

Gauss era filho de camponeses pobres, mas encontrou apoio de sua mãe e de seu tio para estudar, apesar das objeções paternas. Aos 10 anos, surpreende os professores pela agilidade em fazer contas. Soma rapidamente os números de 1 a 100, dando-lhes o resultado: 5.050. Em 1792, sua habilidade para a matemática é reconhecida pelo duque de Braunschweig, que lhe garante recursos para prosseguir os estudos. No curso do Collegium Carolinum, sem acesso a uma boa biblioteca de matemática, redescobre teoremas enunciados por outros matemáticos.

Em 1795 entra na Universidade de Göttingen. Escreve Indagações Aritméticas (1798) e faz novas descobertas, como o Teorema Fundamental da Álgebra e a Lei da Reciprocidade Quadrática, que introduz o conceito de congruência. Em 1801 publica Disquisitiones Arithmeticae, tratado sobre a Teoria dos Números.

No mesmo ano, calcula a órbita do asteroide Ceres. Com base em uma teoria que desenvolve, prediz corretamente onde e quando o Ceres deve reaparecer. Em 1807 é nomeado diretor do Observatório de Göttingen.

Principais trabalhos

Investigando uma questão aparentemente simples - quantos dígitos tem o período de uma decimal periódica? -, Gauss descobre a lei da reciprocidade quadrática e introduz a terminologia das congruências.

Aos 18 anos inventa o método dos mínimos quadrados, indispensável para as medições geodésicas. A Lei de Gauss, relativa à distribuição dos erros, e sua curva normal (em forma de sino) são amplamente conhecidas de todos os que estudam estatística.

Em 1812, Gauss publica seus estudos sobre as séries hipergeométricas. O interesse de tais séries está em que englobam, como casos particulares, muitas das séries mais notáveis da análise (entre as quais as que permitem cálculo e construção de tabelas de funções trigonométricas, logarítmicas e exponenciais).

Gauss também abriu novos rumos com a invenção de um tipo novo de números, os inteiros complexos gaussianos, da forma a+bi, em que "a" e "b" são inteiros racionais e "i" a unidade imaginária.

Gauss possuía, ainda, grande habilidade manual. Inventou o heliótropo; aperfeiçoou alguns instrumentos de observação, utilizados na astronomia; inventou o magnetômetro bifilar; e descobriu o telégrafo elétrico.

Contribuições

Gauss contribuiu muito em diversas áreas da ciência, dentre elas a teoria dos números, estatística, análise matemática, geometria diferencial, geodesia, geofísica, eletroestática, astronomia e óptica.

As suas contribuições para a teoria dos números, dos números complexos, da geometria e da álgebra são inúmeros. Por exemplo, a sua tese de doutoramento foi à primeira demonstração do teorema fundamental da álgebra. Gauss teve também um importante contributo para a astronomia, tendo-se interessado pelo estudo das órbitas planetárias e pela determinação da forma da Terra. Um exemplo desse contributo foi o desenvolvimento de um método para calcular, com grande precisão, os parâmetros de uma órbita planetária a partir de apenas três observações da posição do planeta.

Por fim, outro importante contributo de Gauss para a ciência foi à determinação do campo magnético terrestre. Em reconhecimento desta contribuição, a unidade