ATPS CALCULO 2

asso 1

Faça a leitura do capitulo 2 – seções 2.3 e 2.4 do PLT e demonstre o que representa a taxa de variação média de f e a taxa de variação instantânea de f. Dê dois exemplos.

A taxa de variação média de uma função f (coeficiente angular) indica o quão rápido ou devagar essa função muda, de uma extremidade à outra do intervalo, em relação ao tamanho do intervalo. Na prática:

m=(f(a+h)-f(a))/h

Exemplo 1: Dada a distância ‘s’ como uma função do intervalo ‘a’ e ‘b’, temos que a velocidade média ‘Vm‘ é dada por:

Vm=(s(b)-s(a))/(b-a)

Já a taxa de variação instantânea de uma função f (derivada) consiste na mesma variação acima, porém, limitada a um determinado ponto. Na prática:

f'(a)=lim-(h?0)?((f(a+h)-f(a))/h)

Exemplo 2: Dada a distância ‘s’ como uma função do intervalo ‘a’ e ‘b’, temos que a velocidade instantânea ‘Vi‘ - quando ‘t’ é igual à ‘a’ - é dada por:

V'(s)=lim-(h?0)?((s(a+h)-s(a))/h)

Passo 2

Demonstre a regra da derivada da função constante e a regra da função potência, algebricamente.

Dado que ?'b?^' é uma constante» lim-(x?c)??(b.f(x) )=b.(lim-(x?c)??f(x))? ?

Já a regra da derivada da função potência é dada por:

f(x)n=lim-(h?0)?((f(x+h)n-f(x)n)/h)

Passo 3

Leia o capitulo 2 – seção 2.5 do PLT e, por meio de exemplos, faça a interpretação prática da derivada.

A derivada pode ser interpretada graficamente como um coeficiente angular da reta tangente à função. Na prática, físicos e cientistas utilizam modelos matemáticos com o formato de uma equação diferencial, isto é, uma equação que contém uma função e suas derivadas. Isso é necessário para predizer o comportamento futuro de um modelo baseado na maneira como os valores presentes variam.

Um exemplo é a taxa de crescimento de uma população ‘P’. Dado o tempo ‘t’ e a constante de proporcionalidade ‘k’, temos que a taxa de crescimento (simplificada) de uma população é:

dP/dt "=k.P"

Outro exemplo é a Velocidade ‘V’ de um objeto em um determinado instante ‘t’ e posição ‘s’. A velocidade é dada por:

V=ds/dt

Passo 4

Leia o capitulo 2 – seção 2.6 do PLT e elabore um texto, com explicações, sobre a derivada segunda.

Se a derivada primeira de uma função representa a taxa de variação desta função, a derivada segunda representa justamente a taxa de variação da derivada primeira.

Na prática, a aceleração ‘A’ de um corpo é dada pela derivada (primeira) da velocidade em função do tempo:

A=dv/dt

Já se desejarmos saber como esta aceleração ‘A’ varia com o tempo, a derivada (segunda) da velocidade em função do tempo nos indica:

dA/dt=d/dt??(dv/dt)=(d^2 s)/?dt?^2 ?

Etapa 02 (Técnicas de Diferenciação)

Passo 1

Faça a leitura do capitulo 3 – seção 3.1 do PLT e enuncie a derivada da soma, a derivada da diferença e a derivada de polinômios, com quatro exemplos.

A derivada da soma é dada por:

?/?x [f(x)+g(x) ]=f^' (x)+g'(x)

Analogamente, a derivada da diferença é dada por:

?/?x [f(x)-g(x) ]=f^' (x)-g'(x)

Exemplos:

* f(x)= -x + x2 ? f’(x)= -1+2x * f(z)= z + 5z ? f’(z)= 6

* f(x)= xp - px ? f’(x)= pxp-1 – px(ln p) * f(k)= k2 – k3 ? f’(k)= 2k - 3k2

Já a derivada de polinômios é dada por (para ‘n’ um número real e constante):

?/?x (x^n )=n.x^(n-1)

Exemplos:

* f(x)= -x-11+4x+5 ? f’(x)= 11x-12+4

* f(x)= 5x4+ 1/x^2 ? f’(x)= 20x3-2x-3

* f(x)= x3/4 ? f’(x)= 3/4 x-1/4

* f(x)= -3x4+4x3–6x+2 ? f’(x)= -12x3+12x2-6

Passo 2

Faça a leitura do capitulo 3 – seção 3.2 do PLT e pesquise e enuncie a derivada da função exponencial e da função logarítmica. Dê quatro exemplos.

Graficamente, a função exponencial f(x)=ax representa um crescimento rápido de ‘y’ em relação à ‘x’ para x>0. Como a função é crescente para todos os valores de x, o gráfico de sua derivada tem que estar acima do eixo x. Logo, a derivada de uma função exponencial é sempre muito próxima e proporcional à função original.

Já a função logarítmica é a inversa da função exponencial. A migração para esta base pode ser conveniente para solução de problemas.

log_a?N=x ? a^x=N

Regra geral da derivada de funções exponenciais:

f(x)=ax ? f’(x)=ax.ln(a)

Exemplos de derivadas:

* f(x)=5x+2 ? f’(x)=5x(ln 5)

* f(x)=4x(ln4) ? f’(x)=4x(ln 4)2

* f(x)=4.10x-x3 ? f’(x)=10x.4(ln 10)-3x2

* f(x)=p2+ px ? f’(x)= px(ln p)

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