ATPS CALCULO 3

ETAPA 01

Passo 01

A derivada e a integral são duas noções básicas do Calculo Diferencial e integral. Do ponto de vista geométrico, a derivada está ligada ao problema de traçar a tangente a uma curva enquanto que a integral está relacionada com o problema de determinar a área de certas figuras planas, mas também possui muitas outras interpretações possíveis. Na realidade, a grande descoberta de Newton e de Leinviz foi que a Matemática, além de ligar com grandezas, é capaz de lidar com a variação das mesmas.

A ideia ou o conceito de integral foi formulado por Newton e Leibniz no século XVII, mas a primeira tentativa de uma conceituação precisa foi feita por volta de 1820, pelo matemático francês Augustin Louis Cauchy (1789-1857). Os estudos de Cauchy foram incompletos, mas muito importantes por terem dado início à investigação sobre os fundamentos do Cálculo Integral, levando ao desenvolvimento da Análise Matemática e da teoria das funções.

Por volta de 1854, o matemático alemão Bernhard Riemann (1826-1866) realizou um estudo bem mais aprofundado sobre a integral e em sua homenagem a integral estudada por ele passou a receber o nome de Integral de Riemann. Tal nome serve para distinguir essa integral de outras que foram introduzidas mais tarde, como por exemplo, a Integral de Lebesgue. A forma usada para introduzir o conceito de Integral de Riemann nos cursos de Cálculo é a versão devida a Cauchy. O que justifica isto é que, ela é simples e bastante acessível aos alunos de um curso de inicial de Cálculo, além de atender aos propósitos de um curso desta natureza.

Integral Definida:

Seja f uma função contínua definida no intervalo [a,b]. A integral definida desta função é denotada como:

Em linguagem Matemática

Português

S=∫_a^b▒f(x)dx

S é a integral da função f(x), no intervalo entre a e b. ∫é o sinal da integral, f(x) é o integrando e os pontos a,b e são os limites (inferior e superior, respectivamente) de integração.

Onde f:[a,b]→R

f é uma função com domínio no espaço fechado [a,b] (com a≤x≤b e com imagem no conjunto dos números reais

A idéia desta notação utilizando um S comprido é generalizar a noção de somatório. Isto porque intuitivamente a integral de f(x) pode ser entendida como a soma de pequenos retângulos de base ∆x tendendo a zero e altura f(x_i^* ) onde o produto ∆x f(x_i^* ) é a área deste retângulo. A soma de todas estas pequenas áreas, ou áreas infinitesimais, fornece a área total abaixo da curva. Mais precisamente, pode-se dizer que a integral acima é o valor limite da soma:

∫_a^b▒〖f(x)dx=lim┬(∆→0)⁡∑_(i=1)^n▒〖f〖(x〗_i^* 〗 〗)∆x

A integral de f(x) no intervalo [a,b] é igual ao limite do somatório de cada um dos valores que a função f(x) assume, de 0 a n, multiplicados por ∆x. O que se espera é que quando n for muito grande o valor da soma acima se aproxime do valor da área abaixo da curva e, portanto, da integral de f(x) no intervalo. Ou seja, que o limite esteja definido. A definição de integral aqui apresentada é chamada de soma de Riemann, mas há outras formas (equivalentes).

onde ∆x=(b-a)/n Comprimento dos pequenos subintervalos nos quais se divide o intervalo [a,b]. Os extremos destes intervalos são os números x_0 (=a),x_1,…x_n (=b)

Onde f∫_a^b▒f(x)dx (x_i^* )

Valor ("altura") da função f(x) quando x é igual ao ponto amostral x_i^* definido como um ponto que está no subintervalo [x_(i-1), x_i], (podendo até mesmo ser um destes pontos extremos do subintervalo).

Uma integral definida pode ser própria ou imprópria, convergente ou divergente. Neste último caso, ela representa uma área infinita.

Integral indefinida é uma função (ou família de funções), assim definida:

∫▒f(x)dx se e somente se dF(x)/dx=f(x), ou, o que é a mesma coisa,

∫▒f(x)dx ↔F^' (x)=f(x)

Relação entre integral definida e indefinida

A integral definida ∫_a^b▒f(x)dx é um número; não depende da variável x. A integral indefinida, ao contrário, é uma função ou família de funções. A conexão entre elas é dada pelo Teorema Fundamental do Cálculo. Se f for contínua em [a,b], então 6 .

∫_a^b▒f(x)dx=∫▒〖f(x)dx⃓_a^b 〗

Ou seja, a integral indefinida, calculada no intervalo [a,b], resulta no valor da integral definida.

Passo 02

Desafio A

Qual das alternativas representa a integral indefinida de: ∫▒〖(a^3÷3+3÷a^3+3÷a)〗 da?

R: Alternativa (B): f(a): a^4÷12-3÷2a^2+3ln⃓a⃓+c.

f(a): ∫▒〖a³÷3+∫▒〖3÷a³+∫▒〖3÷a〗〗〗

f(a): ∫▒〖1÷3xa³+∫▒〖3x1÷a³+3ln⃓a⃓〗〗

f(a): 1÷3xa^4÷4+∫▒〖3xa^(-3+1) 〗+3ln⃓a⃓

f(a): a^4÷12+3xa^(-2)÷-2+3ln⃓a⃓

f(a): a^4÷12-3÷2a^2+3ln⃓a⃓+c.

Desafio B

Suponha que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de U$ 10.000 e um custo marginal de C’(q) = 1000 + 50q dólares por pé, onde q é a profundidade em pés. Sabendo que C (0) = 10.000, a alternativa que expressa C(q), o custo total para se perfurar qpés, é:

R: Alternativa (A): C(q)= 10.000 + 1.000q + 25q².

1000.d.q + 50.d.d.q

C(q):1000q+50.q²/2

C(q):1000q+25.q² +c

C(q):1000+25q^2+10000.

Desafio C

No início dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petróleo no instante t, onde t é o número de anos contados a partir do inicio de 1990. Um modelo

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