ATPS Calculo 2

Etapa I

Passo 1

Velocidade instantânea

Existem muitas maneiras de descrever o quanto algo se move: velocidade média e velocidade escalar média, ambas as medidas sobre um intervalo de tempo Δt. Entretanto, nos referimos na velocidade que partícula está se movendo em um dada instante – sua velocidade instantânea ou simplesmente velocidade v.

A velocidade em qualquer instante de tempo é obtida a partir da velocidade média reduzindo-se o intervalo de tempo Δt, fazendo-o tender a zero. À medida que Δt é reduzido, a velocidade média se aproxima de um valor limite, que é a velocidade naquele instante:

〖v=lim〗┬(Δt→0)⁡〖〖0ΔtxΔt=dxdt〗^ 〗

Esta equação mostra duas características da velocidade instantânea v. Primeiro v é a taxa na qual a posição da partícula x está em relação à t. Segundo, v em qualquer instante é a inclinação da curva (ou coeficiente angular da reta tangente á curva) posição-tempo da partícula no ponto representando esse instante. A velocidade é outra grandeza vetorial, e assim possui direção e sentido associados.

Em cálculo a velocidade instantânea é o número a que tendem as velocidades médias quando o intervalo diminui de tamanho, isto é, quando h torna-se cada vez menor. Definimos então:

Velocidade instantânea = Limite, quando h tende a zero, de sa+h-s(a)h.

Isso é escrito de forma mais compacta usando a notação de limite, da seguinte maneira:

Seja s(t) a posição no instante t. Então, a velocidade instantânea em t = a é definida como:

Velocidade instantânea em t=a= 〖v=lim〗┬(h→0)⁡〖〖0sa+h-s(a)h〗^ 〗

h : é o intervalo de tempo.

t: é o tempo.

s: espaço

Em palavras, a velocidade instantânea de um objeto em um instante t = a é dado pelo limite da velocidade média em um intervalo quando esse intervalo diminui em torno de a.

As equações utilizadas tanto em física como em calculo seguem a mesma lógica, sendo que em física utilizamos a derivada para descrever a posição da partícula dado sua posição em relação ao seu tempo expressada por dx (t)dt t=t0 em que dx e a denotação da função posição ou espaço e t a denotação da função tempo.

Exemplo: s=〖5t〗^5+2t-2 com tempo igual a 1 segundo.

Somatória de Ras:

Antonio Edson da Rocha RA: 4236829600

Cristiano Roberto Padilha RA: 4256830493

Heleno Giovani Raduenz RA: 3715658478

João Paulo da Silva RA: 3709613893

Kelvin Markiewicz Manoel RA: 3708633359

Leonardo Kochella RA: 4623884381

Vildomar Barroso RA: 4436883673

Aceleração = 0+3+8+3+9+1+3= 12m/s²

v=〖5t〗^5+2t- 2

v=〖5×1〗^5+2×1- 2

v=5m

Derivando a posição em relação ao tempo, temos:

v=〖5t〗^5+2t-2

v^'= 〖25t〗^4+2

Aplicando no tempo igual a 1 segundo, temos:

v^'= 25×1^4+2×1

v^'= 27m/s²

Passo 2

t(s) s(m) (t,s) v(m/s) (t,v)

0 〖5×0〗^5+2×0-2= -2 0,-2 25×0^4+2=2 0,2

1 〖5×1〗^5+2×1-2= 5 1,5 25×1^4+2=27 1,27

2 〖5×2〗^5+2×2-2= 162 2,162 25×2^4+2=402 2,402

3 〖5×3〗^5+2×3-2= 1219 3,1219 25×3^4+2=2027 3,2027

4 〖5×4〗^5+2×4-2= 5126 4,5126 25×4^4+2=6402 4,6402

5 〖5×5〗^5+2×5-2= 15627 5,15627 25×5^4+2=15627 5,15627

Gráfico s(m) x t(s)

Gráfico v(m/s) x t(s)

Usando o cálculo da área temos:

A = S => S = (b×h)/2 => S = (5×15627)/2= 78135/2= 39067,5 m²

Sendo assim, se tentarmos obter as áreas ponto a ponto chegaremos ao gráfico de s (m) x t (s).

Passo 3

Quando a velocidade de uma partícula varia diz-se que a partícula sofre aceleração, para sabermos como ela esta variando pegamos a sua velocidade e a derivamos em relação ao tempo sendo: a= dv/dt, pois a aceleração da partícula em qualquer instante é a taxa na qual sua velocidade está mudando naquele instante. Graficamente, a aceleração em qualquer ponto é a inclinação da curva de v(t) naquele ponto. Sendo assim, a aceleração de uma partícula em qualquer instante é dada pela derivada segunda de sua posição x(t) em relação ao tempo.

Derivando velocidade em relação ao tempo:

S=〖5t〗^5+2t-2

Vm=〖25t〗^4+2 (equação da velocidade média) primeira derivada

A=〖100t〗^3 (equação da aceleração) segunda derivada

t(s) 100xt³ a(m/s²), t(s)

0 100x0³=0 0,0

1 100x1³=100 100,1

2 100x2³=800 800,2

3 100x3³=2700 2700,3

4 100x4³=6400 6400,4

5 100x5³=12500 12500,5

Passo 4