ATPS Calculo 3 - Etp 1 E 2

ENGENHARIA DE PRODUÇÃO

3º SEMESTRE

CÁLCULO III

PROF.ª.: RACHEL

ATPS

Desafio D

ETAPAS 2, 3 E 4

DIOGO SANTIAGO RA: 7248604425

DOUGLAS GIOVANNI RA: 1299114728

FABIO ALVES RA: 7416626548

FRANCIS PAULO RA: 7627715948

LUIZ FERNANDO RA: 7478689175

SANTO ANDRÉ, NOVEMBRO DE 2014

ÍNDICE

Etapa 2

Conceitos de integração por substituição

Conceitos de Integração por partes

Resolvendo utilizando o método da substituição

Resolvendo utilizando os métodos da substituição e por partes

Resolvendo a parte da integral

Substituindo o valor na equação

Substituindo o intervalo definido

Bibliografia

Desafio D

No desafio D, foi solicitado o gráfico da função cx2, para valores de x = -3a

x = 2.

Resolução do desafio D

Resolvendo a área utilizando o método da substituição

-32cx / 2dx

u = x / 2

dudx = u’.v dx.2 - x.d222 = 12

dx = 2.du

-32cu.2du = 2. (-32cu) = 2.c22 - 2.c - 32

=4.99 ua

Sendo assim, a resposta correta do desafio é a alternativa A, 4.99 ua.

ETAPA 2

Passo 1

Explicação de integrais por substituição e integrais por parte, mais 2 exemplos de aplicação para cada.

Conceitos de integração por substituição

Considere a seguinte integral:

A substituição consiste simplesmente em aplicar uma mudança de variáveis u=g(x), onde g(x) é uma função qualquer contínua no domínio de integração, fazendo du=g’(x)dx:

Esta técnica, que é fruto da regra da cadeia para derivadas, é muito útil quando a função a ser integrada pode ser representada como um produto de funções, onde uma é derivada da outra (podendo deferir de uma constante).

Exemplos de integral por substituição:

1)

(2x-8)3dx

u=2x - 8

dudx = 2

dx = du2

(u)3.du2

= 12.u44

= (2x-8)48+C

2)

sen4xdx

u = 4x

dudx = 4

dx = du4

sen u du4 = 14 (-cosu) = - cos4 x 4 + C

Conceitos de Integração por partes

Pela regra do produto para derivadas, sabe-se que

[u(x)v’(x)] = u’(x)v(x) + u(x)v’(x), com u e v deriváveis. Através de manipulações algébricas, e integrando a equação, temos:

∫ u(x)v’(x)dx = ∫[u(x)v(x)]’dx - ∫ v(x)u’(x)dx

∫ u(x)v’(x)dx = u(x)v(x) - ∫ v(x)u’(x)dx

∫ u(x)dv = u(x)v(x) - ∫ v(x)du,

que é a fórmula da integração por partes.

Com um intervalo de integração definido em [a,b], com derivadas continuas fica-se com:

Exemplos de integral por partes:

1)

3x.senx.dx

u=3x dudx=3 du=3.dx dv=senx v=senx.dx v=-cosx+C

u.v-v.du

3x(-cosx) – (cosx).3dx

= -3x.cosx – 3. – senx

= -3x.cosx + 3senx+C

2)

X8.lnx.dx

u=lnx dv=x8 dudx=lx du=dxx v=x8.dx v=x99 + C

u.v-v.du

lnx.x99-x99.dxx

= lnx.x99 – x89.dx

= lnx.x99 – 19.x99

= lnx.x99 – x981

= 9.lnx.x9 – x981 + C

Passo 2

Considerar e verificar se as igualdades são verdadeiras ou falsas.

1)

3-t.(t2-6t)4 dt = -(t2-6t)510 + C

Resolvendo utilizando o método da substituição:

u = (t2-6t) dudt = 2t-6=-2.(-t)+3 dt = du-2.(-t+3)

3-t.(u)4.du-2(-t+3) = u4.du-2 = -12.u-12.u55 = -(t2-6t)510 + C

Portanto, a igualdade 1 é verdadeira.

2)

05tt+4dt = 4,67

Resolvendo utilizando os métodos da substituição e por partes:

u = t+4

dudt = 1 du = dt

05tudt

u = t dv = 1u dudt = 1 v = 1u.du v = 2.u+C

u.v-v.du = t.2.t+4-2.t+4.t-4.dt

= t2.t+4-2.t+4.50dt

Resolvendo a parte da integral:

t+4 dt

u = t+4

dudt = 1 du=dt

udu = 23.u32 = 23.(t+4)32

Substituindo o valor na equação:

t2.t+4-2+2+3.(t+4)3250

Substituindo o intervalo definido:

5.2.5 + 4-2.23.5+432-0.2.0+4-2.23.0+432

= 30-36-0-010,67=4,67

Portanto, a igualdade 2 também é verdade.

A alternativa correta do desafio é a A, igualdades 1 e 2 são verdadeiras.

Conforme solicitado no desafio, associaremos o número 4 aos valores obtidos.

1)

3-t.(t2-6t)4.dt = -(t2-6t)510

3-4.(42-6.4)4dt = -(42-6.4)510

= 3273,8

2)

05tt+4.dt = 4,67

t.2.t+4-2.23.t+432

4.2.4+4-2.23.(4+4)32 = 8.8-30,17 = 7,54