ATPS DE CALCULO

Dependência e Independência Linear

Um conjunto de vetores é dito linearmente independente (freqüentemente indicado por LI) quando nenhum elemento contido nele é gerado por uma combinação linear dos outros (lembrar o conceito de combinação linear apresentado anteriormente). Naturalmente, um conjunto de vetores é dito linearmente dependente (LD) se pelo menos um de seus elementos é combinação linear dos outros.

Sejam V um espaço vetorial e ? V.

Dizemos que o conjunto { } ou que os vetores são linearmente independentes (LI) se a equação

admitir apenas a solução trivial, isto é: a1 = ... = an = 0

Se existir algum aj ? 0, dizemos que { } ou que os vetores são linearmente dependentes (LD).

Em outras palavras, o conjunto { } é LD se, e somente se um destes vetores for combinação linear dos outros.

Prova:

Sejam Suponha que aj ? 0(para ser LD).

Então .

Portanto, é combinação linear.

Por outro lado, se tivermos tal que para algum j

Então,

Logo, bj = -1 e, portanto, V é LD.

A Independência Linear tem uma interpretação geométrica útil:

i) Seja é LD se e somente se e estiverem na mesma reta quando colocados com seus pontos iniciais na origem são pararlelos:

ii) Seja é LD se estes 3 vetores estiverem no mesmo plano quando colocados com seus pontos iniciais na origem:

Exemplo: Os vetores são LI ou LD?

Solução: Verificando a expressão

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Logo, como o sistema admite somente a solução trivial, os vetores são LI.

Questões

1) Considere dois vetores (a, b) e (c, d) no plano. Se ad - bc = 0, mostre que eles são LD. Se ad - bc ? 0, mostre que eles são LI.

2) Para quais valores de a o conjunto de vetores {(3,1,0); (a2 + 2,2,0)} é LD?

3) Verifique se os polinômios seguintes são linearmente dependentes ou independentes.

4) Ache as relações lineares não triviais satisfeitas pelos seguintes conjuntos de vetores.

5) Verifique se o conjunto a seguir é LD ou LI: .