ATPS DE CALCULO TRES

Sumário:

Objetivo .................................................................................................................... ......4

Taxa de variação média de f e taxa de variação instantânea ................................. 5 a 6

Regra da derivada da função constante e regra da função potência .............................7

Prática da derivada ........................................................................................................8

Derivada segunda ..........................................................................................................9

Derivada da soma, derivada da diferença e derivada de polinômios ....................10 a 11

Função exponencial e função logarítmica .............................................................12 a 13

Função exponencial na base e (≈2,718).....................................................................14

Regra do produto e a regra do quociente .............................................................15 a 18

Regra da cadeia ...........................................................................................................19

Derivada da função seno e derivada da função cosseno.............................................20

Fontes ..........................................................................................................................21

Objetivo

*Compreender o conceito de derivada.

*Compreender as regras de derivação e suas aplicações.

Estudos das Derivadas

Conceito e Aplicações:

As noções básicas sobre derivadas de funções e algumas de suas aplicações nas áreas da Calculo II. A noção de derivada é uma das mais importantes e poderosas ferramentas da Matemática.

Para um bom entendimento sobre derivadas necessitamos do conceito de taxa de variação média e também o de taxa de variação instantânea. São dois conceitos simples, importantes e fundamentais para o entendimento das derivadas.

Taxa de variação média

Definição: Se y = f(x) e se x varia de x0 ax0+ x, então y varia de f(x0) a f(x0 + x). Assim, a variação em y que podemos denotar por y seráf(x0 + x) - f(x0), quando a variação de x for x. Então a taxa média de variação de y (a razão média de variação) por unidade de variação em x, quando x varia de x1 a x1 + x será

f(x)=2x+3x0= -5 x0+∆x=5

f(x0+∆x)=2*5+3= 10+3=13

f(x0)=2*(-5)+3= -10+3= -7

∆x=5-(-5)=10

T.M.V.=f=(13-(-7))/10→f=20/10 = 2

Taxa de variação instantânea:

Definimos a taxa de variação instantânea de uma função em um ponto da mesma forma que definimos a velocidade instantânea: consideramos a taxa de variação média em intervalos cada vez menores. Essa taxa de variação instantânea é chamada de derivada de f em a e denotada por f’(a).

A derivada de f em a, denotada por f' (a) é definida por:

Taxa de variação em de f em a =

(f^' (a)=lim)┬( h→0)⁡〖(f (a+h)- f(a))/h〗

Se o limite existe, dizemos que f é diferenciável em a

Exemplo:

A fórmula de r = Com h = 0,01 e h= - 0,01 temos os quocientes de diferenças.

(f(1,01)- f(1))/0,01≈0,2061 e (f (0,99)- f (1))/0,01 ≈0,2075

Com h = 0,001 e h = - 0,001,

(f(1,001)- f(1))/0,01≈0,2067 e (f (0,999)- f (1))/(-0,001) ≈0,2069

Os valores desses quocientes de diferenças sugere que o limite está entre 0,2061 e 0,2075. Concluímos que o valores de deve ser em torno de 0,207; escolhendo valores de h confirma nossa hipótese. Logo,

f^' (1)= taxa de variação instantânea de raio em relação ao volume em V = 1 ≈0,207.

Derivada do produto de função por uma constante

A derivada do produto de uma constante por uma função é igual ao produto da constante pela derivada da função.

g(x)=k*f(x)→g(x)=k*f(x)

Derivada da função potência

A derivada de uma função potência de x, de expoente genérico “n", é verificada pela definição de derivadas e pelo binômio de Newton.

f(x)=x^n→f^,(x)= n*x^(n-1)

Prática da derivada

A derivada de uma função y = f (x) é a razão entre os acréscimos infinitesimais da função y e da variável x. A derivada é portanto uma taxa de variação instantânea, logo a interpretação gráfica é a mesma.

Seja y = f (x) cujo gráfico é mostrado na figura. A derivadady/dx para x = a representada graficamente pelo coeficiente angular da