ATPS - EQUAÇÃO DIFERENCIAL

ÍNDICE

RESUMO ....................................................................................................................... 04

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E SÉRIES .................................................................... 05

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ...................................................................................... 06

APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ................................................... 06

CIRCUITOS ELÉTRICOS .............................................................................................07

CIRCUITOS ELÉTRICOS DE PRIMEIRA ORDEM .................................................. 08

CIRCUITOS ELÉTRICOS DE SEGUNDA ORDEM .................................................. 10

CONSIDERAÇÕES FINAIS ........................................................................................ 11

BIBLIOGRAFIA ........................................................................................................... 12

RESUMO

Investigação de aplicações das Equações Diferenciais Ordinárias (E.D.O.) 2 HISTÓRICO

As equações diferenciais começaram com o estudo do cálculo por Isaac.

Newton e Gottfreied W. Leibniz no século XVII. Newton atuou relativamente pouco na área das equações diferenciais, mas o desenvolvimento do cálculo e elucidação dos princípios básicos da mecânica forneceram a base para a aplicação das equações diferenciais no século XVIII especialmente por Euler.

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E SÉRIES

Newton desenvolveu um método para resolver a equação de primeira ordem dy/dx=f(x,y) no caso em que f(x,y) é um polinômio em x e y usando séries infinitas.

Leinbniz foi um autodidata em matemática. Ele compreendia o poder de uma boa notação matemática assim como o sinal de integral. Também descobriu o método de separação das variáveis para as equações dy / dx = P(y) / Q(x). Em 1691, verificou a redução de equações homogêneas a equações separáveis e o procedimento para resolver equações lineares de primeira ordem.

Ao redor do início do século XVIII, a nova onda de pesquisadores de equações diferenciais começou a aplicar estes tipos de equações a problemas de astronomia e ciências físicas. Jakob Bernoulli, que foi o primeiro a palavra “integral” no sentido moderno, estudou e escreveu equações diferenciais para o movimento planetário, utilizando os princípios desenvolvidos por Newton. Halley utilizou os mesmos princípios para calcular a trajetória de um cometa que hoje leva o seu nome. O irmão de Jakob, Johann Bernoulli, foi, provavelmente, o primeiro matemático a entender o cálculo de Leibniz e os princípios da mecânica para modelar matematicamente fenômenos físicos utilizando equações diferenciais e a encontrar suas soluções. Entretanto, cinquenta anos de teoria geral trouxeram significativos avanços, mas não uma teoria geral.

O desenvolvimento das equações diferenciais precisava de um mestre para consolidar e generalizar os métodos existentes. Muitas equações pareciam amigáveis, mas se tornaram decepcionantemente difíceis. O maior matemático do século XVIII, Leonhard Euler identificou a condição para que as equações de primeira ordem sejam exatas. Euler entendeu o papel e as estruturas das funções, estudou as propriedades e definições. Também foi o primeiro a entender as propriedades e os papéis das funções exponenciais, logarítmicas, trigonométricas e muitas outras funções elementares. Em um artigo publicado em 1734, Euler desenvolveu a teoria dos fatores integrantes e encontrou a solução geral para as equações de coeficientes constantes, tal como.

Depois de Euler vieram vários especialistas que refinaram e entenderam muitas das ideias das equações diferenciais baseadas nas ideias de Euler, utilizando as equações em áreas como física matemática, mecânica, energia, sistemas dinâmicos, astronomia etc. Porém o próximo avanço importante nesse assunto ocorreu no início do século XIX com os pesquisadores Gauss e Cauchy, quando as teorias e conceitos de funções variáveis complexas se desenvolveram. Gauss usou as equações diferenciais para melhorar a teoria das órbitas planetárias e da gravitação. Cauchy aplicou equações diferenciais para modelar a propagação de ondas sobre a superfície de um líquido.

As equações diferenciais são uma parte integral ou um dos objetivos de vários cursos de graduação de cálculo. Assim, é amplamente aceito que as equações diferenciais são importantes para a matemática pura e aplicada.

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

A equação diferencial é uma equação em que as incógnitas são funções e a equação envolve derivadas destas funções. Também podemos dizer que a equação diferencial é uma equação que contém derivadas ou diferenciais de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma ou mais variáveis independentes.

As equações diferenciais podem ser classificadas em EDO (Equações Diferenciais Ordinárias), quando possui apenas derivadas ordinárias de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma única variável independente, e EDP (Equações Diferenciais Parciais), quando envolve derivadas de uma ou mais variáveis dependentes em relação a duas ou mais variáveis independentes.

Toda função definida em um intervalo “I” que tem, pelo menos, “n” derivadas contínuas em I, as quais, quando substituídas na equação diferencial de ordem “n”, reduzem a equação diferencial a uma identidade no intervalo. Em outras palavras, a solução de uma equação diferencial de ordem “n” é uma função Φ que tem, pelo menos, “n” derivadas de forma que F(x, Φ(x), Φ'(x),..., Φn(x))=0

APLICAÇÕES DAS