Aplicação De Derivada

CENTRO UNIVERSITÁRIO DO ESPIRÍTO SANTO

MARÍLIA OLIVEIRA SOARES

APLICAÇÕES DE DERIVADAS

Colatina, ES

Agosto de 2014

INTRODUÇÃO

Com o auxílio das regras de derivação podemos compreender as aplicações de derivadas com maior profundidade. São várias aplicações importantes que devemos conhecer, neste trabalho serão apresentadas as seguintes:

Resumo de Esboços de Curvas

Problemas de Otimização

Aplicações à Administração

Primitivas

Movimento Retilíneo

APLICAÇÕES DE DERIVADAS

RESUMO DE ESBOÇOS DE CURVAS

Segundo James Stewart, podemos descobrir os aspectos mais interessantes dos gráficos por meio do cálculo. E, em muitos casos, calcular exatamente os pontos de máximo, de mínimo e de inflexão.

Figura 1: Gráfico de f(x) = 8x³ - 21x² + 18x + 2, feito no GeoGebra

A Figura 1 mostra o gráfico de f(x)=8x^3-21x^2+18x+2. Observando temos:

Ele apresenta a mesma forma de curvas cúbicas (y=x^3);

Não apresenta ter ponto de máximo e de mínimo.

Se calcularmos a derivada veremos que existe um máximo quando x=0,75 e um mínimo quano x=1. Sem a ajuda do cálculo, poderíamos não ter reparado nisso.

Roteiro para esboçar uma curva

O roteiro a seguir pretende servir como uma guia para esboçar uma curva y=f(x) à mão.

Domínio: É frequentemente útil começar determinando o domínio D de f, isto é, o conjunto dos valores de x para os quais f(x) está definida.

Intersecção com Eixos: A intersecção com eixo y é f(0). Para achar as intersecções com o eixo x, fazemos y=0 e isolamos x. Se a equação for difícil de resolver, você pode omitir essa etapa.

Simetria:

Se f(-x)= f(x) para todo x em D, isto é, a equação da curva não muda se x for substituído por – x, então f é uma função par, e a curva é simetrica em relação ao eixo y. Se soubermos como é a curva para x≥0, então precisaremos somente refletir em torno do eixo y para obter a curva completa. Exemplo a Figura 2.

Figura 2: Gráfico de y=cos x, feito no GeoGebra

Se f(-x)=-f(x) para todo x em D, então f é uma função ímpar, e a curva é simétrica em relação à origem. Novamente, podemos obter a curva completa se soubermos como ela é para x=≥0. Exemplo a Figura 3.

Figura 3: Gráfico de y=sen x, feito no GeoGebra

Se f(x+p)=f(x) para todo x em D, em que p é uma constante positiva, então f é chamada função periódica, e o menor desses números p é denominado período. Por exemplo, y=tg x tem período π (Figura 4).Se soubermos como é o gráfico em um intervalo de comprimento p, então poderemos usar a translação para esboçar o gráfico inteiro.

Figura 4: Gráfico de y=tg x, feito no GeoGebra

Assíntotas:

Assíntotas horizontais: se lim┬(x→∞)⁡〖f(x)=L〗 ou lim┬(x→-∞)⁡〖f(x)=L〗, então a reta y=L é uma assíntota horizontal da curva y=f(x).

Assíntotas verticais: a reta x=a é uma assíntota vertical se pelo menos uma das seguintes afirmativas for verdadeira:

Assintotas oblíquas: algumas curvas têm assíntotas oblíquas, isto é, não são horizontais nem verticais. Se

lim┬(x→∞)⁡〖[f(x)-(mx+b)]=0〗

Então a reta y=mx+b é chamada assíntota oblíqua, pois a distância vertical entre a curva y=f(x) e a reta y=mx+b tende a 0.

Intervalos de Crescimento e Decrescimento: Use o teste C/D. Calcule f^' (x) e encontre os intervalos nos quais ela pe positiva e os intervalos nos quais é negativa.

Valores Máximos e Mínimos Locais: Encontre os números críticos de f. Use o Teste da Primeira Derivada. Se f' mudar de positiva para negativa em um número crítico c, então f(c) é um mínimo local.

Concavidade e Ponto de Inflexão: Calculef^'' (x) e use o Teste de Concavidade. A curva é côncava para cima se f^'' (x)>0, e côncava para baixo se f^'' (x)<0. Os pontos de inflexão ocorrem quando muda a direção da concavidade.

Esboço da Curva: Usando as infromações nos itens I - VII, faça o gráfico.

PLOBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO

Na solução de problemas práticos do dia a dia, o maior desafio está frequentemente em converter o problema em um problema de otimização matemática, determinando a função que deve ser maximizada ou minimizada.