Apostila De Matemática

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS

Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov

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5 Seqüências e séries numéricas

5.1 Sucessões ou seqüências

Definição: Uma sucessão ou seqüência é uma relação cujo domínio é um

conjunto dos números naturais e os números da imagem da relação são chamados de

elementos da sucessão.

1×

2×

3×

× a1

× a2

× a3



Uma seqüência infinita é denotada por { } an ou an e representada por

{an}= {a1 , a2 , a3 ,
, an ,
} ou an = a1 , a2 , a3 ,
, an ,
, onde a1 é o

primeiro termo da sucessão e an é o termo geral.

Exemplos:

i) an = 3 , 4 , 5 , 6 ,
, n + 3 ,

ii) *

n ; n N

n

10

a = Î

iii) an = 2 , 2 , 2 , 2 ,
, 2 ,

iv) a 1, 1,1, 1,
, ( 1)n ,

n = - - -

v) ( ) *

n

n

n ; n N

2

1

a Î = -

Definição: Uma sucessão an é dita convergente para LÎÂ se lim an L

n

=

®+¥

.

Caso contrário, ela é dita divergente.

Exemplos: Verifique se as sucessões convergem ou divergem:

i) an = n + 3

ii) *

n ; n N

n

10

a = Î

iii) an = 2

iv) ( )n

an = -1

v) *

n

n ; n N

2

1

a Î






= -

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS

Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov

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vi) ( ) *

n ; n N

n

ln n

a = Î

vii) n 1

n

n 3

2

a + =

viii)

5n 2

n 3n

a 2

3

n +

= -

ix) *

n ; n N

n

1

sen n a Î






 = ×

Definição: Uma seqüência an é dita crescente (decrescente) se an < an+1

( ) an > an+1 , "n .

Observação: Uma seqüência que seja sempre crescente, sempre decrescente ou

sempre constante é chamada monótona.

Exemplos: Verifique se as seqüências abaixo são monótonas:

i)

3n 2

2n 1

-

+

ii)








2

n

sen

Definição: Um número I (S) é dito cota inferior (superior) de uma sucessão

an se I £ an ( ) S ³ an , "n .

Definição: Se an tem cota inferior (superior) diz-se que ela é limitada

inferiormente (superiormente). Se uma seqüência é limitada superior e inferiormente

diz-se que ela é limitada.

Exemplos: Verifique se as seqüências são limitadas:

i) n + 3

ii) ; n N*

n

10 Î

iii) (-1)n

iv)

n

2

1







-

v) ; n N*

2n 1

1 Î

-

vi) ( )

2n 1

n

1