Atps

Referencia

http://pt.wikibooks.org/wiki/C%C3%A1lculo_(Volume_1)/Aplica%C3%A7%C3%B5es_das_integrais

Fonte: http://www.colegioweb.com.br/trabalhos-escolares/matematica/inscricao-e-circunscricao-de-solidos/solidos-de-revolucao.html#ixzz3KpR7JvlU

Etapa 3

Passo 2

O cálculo de área de figuras planas pode ser feito por integração conhecido como integral definida como área.

Das aplicações da integração uma amostra das mais obviamente concebíveis estudo de áreas em superfícies planas delimitadas por curvas.Talvez esta seja a mais óbvia aplicação para o cálculo de integrais.

Abaixo um estudo extraido da internet com acesso em 02/12/2014 que detalha melhor Fonte:http://pt.wikibooks.org/wiki/C%C3%A1lculo_(Volume_1)/Aplica%C3%A7%C3%B5es_das_integrais

Como conseqüência direta da definição da integral a área sob da curva a ser integrada e o eixo das abscissas , seja a função , considerando que a mesma pode assumir valores tanto positivos como negativos, o fato de este sinal ser determinante para o processo de somatórias consecutivas, próprio da integral definida, considerar no cálculo a possibilidade da diminuição de valores no caso de haver áreas com valores negativos.

Obviamente, pode ser estabelecido e pode ser tomado como positivo se for realizado , logo nos resta:

Que é arbitrário pois depende da função , o que nos leva a concluir que o sinal da função determina o sinal da integral, ou seja, embora o módulo da integral represente a área delimitada pela curva e o eixo das abscissas, o seu valor relativo pode não expressar apenas valores positivos, o que nos indica que temos que analisar o sinal da função antes de calcular qualquer área através da integração

Considere o caso da função:

Os valores do seno entre e são positivos e entre e são negativos! Isto causa uma situação interessante, uma vez que as áreas entre a curva e o eixo dos dois intervalos, quando observadas no plano cartesiano, são identicas, a área das duas deveria ser o dobro de uma delas, entretanto a integral calculada no intervalo entre e é nula! Esta é a razão pela qual devemos fazer o módulo das integrais em cada intevalo de mudança de sinal, para que os valores das áreas nestes intervalos não se subtraiam, provocando erro no cálculo

Verificar os intervalos onde a função se torna negativa e inverter o sinal antes de efetuar a soma de áreas em cada intervalo, assegurando assim o correto valor do total de unidades quadradas de área, delimitadas pela curva e o eixo .

No caso da função acima, teremos:

Sob diversas situações devemos verificar o comportamento do gráfico, para que possamos determinar a melhor maneira de calcular a área, no caso de áreas delimitadas por duas curvas podemos determinar a área de cada curva em relação ao eixo e verificar o comportamento das curvas no gráfico para determinar a forma de calcular. Na seção subseqüente veremos como determinar a área delimitada por duas curvas.

Sejam duas funções:

Area da região delimitada pelas curvas entre as suas interseções. O gráfico abaixo representa as funções e a área que desejamos calcular, a qual chamamos de A:

Inicialmente verifiquemos os pontos onde as funções se encontram, ou seja, os pontos onde :

Se

Se em ambas as funções .

Condições que nos revela o intervalo entre:

e

Obviamente devemos proceder a subtração entre a área delimitada pela reta e a área delimitada pela parábola, no caso da reta poderíamos ainda fazer a área do triângulo formado pela mesma e o eixo das abscissas, porém façamos todo o processo utilizando integração para que possamos ter um processo universal