Atps Alculo 3

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO 03

CONCEITOS DE INTEGRAIS E CALCULOS DE AREA 04 APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS 09

INTRODUÇÃO

Esse trabalho aborda os conceitos teóricos e práticos de Integral definida e indefinida, integração por substituição e por partes. Também aborta calculo de área usando a teoria para integrais.

Com este estudo poderemos aprimorar nossos conhecimentos teóricos e práticos, e aplicar regras passadas em calculo (I; II), como:

 Regra da Cadeia

 Custo Marginal

 Zero da Função

Etapa 1 – Integral Definida e indefinida

Passo 1

O SURGIMENTO DO CÁLCULO DIFERENCIAL INTEGRAL CONCEITOS DE INTEGRAIS E CALCULOS DE AREAS

O cálculo diferencial integral, também chamado de cálculo infinitesimal, ou simplesmente cálculo, é um ramo da matemática desenvolvido a partir da álgebra e da geometria, que se dedica ao estudo de taxas de variações de grandezas (como inclinação de uma reta) e a acumulação de quantidades (como a área debaixo de uma curva ou o volume de um sólido), em que há movimento ou crescimento e que forças variáveis agem produzindo aceleração.

O cálculo foi criado como uma ferramenta auxiliar em várias áreas das ciências exatas. Foi desenvolvido por Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Leibniz (1646-1716), em trabalhos independentes. Historicamente, Newton foi o primeiro a aplicar o cálculo à física, ao passo que Leibniz desenvolveu a notação utilizada até os dias de hoje. O argumento histórico para conferir aos dois a invenção do cálculo é que ambos chegaram de maneiras distintas ao teorema fundamental do cálculo. Newton aperfeiçoou-se nos resultados da tangente e quadratura dos primeiros dois terços do século XVII. Ele afirmava em termos físicos quais eram os dois problemas mais básicos de cálculo: 1) Dado o comprimento do espaço continuamente, isto é, em todo instante de tempo, encontrar a velocidade do movimento, isto é, a derivada em qualquer tempo dado; 2) Dada a velocidade de movimento continuamente, encontrar o comprimento do espaço, isto é, a integral ou a antiderivada, descrita em qualquer tempo proposto, mas no lugar de derivadas, Newton empregou flúxions de variáveis, denominados, por exemplo, de x, e em vez de antiderivadas, usou o que ele chamou de fluente. A partir de Gregory Newton adotou-se a idéia de que a área entre uma curva y e o eixo horizontal, era dependente do extremo direito, t = x. De fato, Newton pensou na área como sendo realmente gerada pelo movimento da reta vertical t = x. Assim, o flúxion da área era simplesmente yx. Então, a técnica de Newton para encontrar tais quadraturas era encontrar o fluente de y, equivalente a encontrar nossas antiderivadas. As idéias de Leibniz sobre integrais, derivadas e cálculo em geral foram desenvolvidas a partir de analogias com somas e diferenças. Por exemplo, para o teorema fundamental do cálculo, se fosse dada uma seqüência finita de números tais como: y,0,1,8,27,64,125 e 216, com diferenças y:1,7,19,37,61 e 89, ele notou que a soma das diferenças, y= (1-0)+(8-1)+(27-8)+......(216-125), alternavam-se em torno da diferença entre o primeiro e o último valor de y, 216-0. Já para Leibniz, uma curva era um polígono feito de um número infinito de lados, cada um com comprimento “infinitesimal”. Leibniz escreveu em 1680, “Eu represento a área de uma figura pela soma infinita de todos os retângulos limitados pelas ordenadas e diferenças das abscissas”, isto é, como òydx. Então, “elevando a alturas maiores”, baseando-se na analogia com somas finitas e diferenças, afirmou que ao encontrar a área representada por òydx, deve-se encontrar uma curva Y tal que as ordenadas y são diferenças de Y,ou y=dY. Em tempos modernos, Y é nossa antiderivada, e assim, Leibniz formulou uma afirmação inicial da parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Leiam os desafios propostos

Desafio A

Qual das alternativas abaixo representa a integral indefinida de: (a³/3 + 3/a³+ 3/a) da?

Integrando:

∫ (a³/3 + 3/a³+ 3/a)

∫ (a³/3+ 3/a-³+3 a-¹) da

(a^4/12 + 3a ^-2/-2 + ln|a| + c

A^4/12 – 3/2a ^2+3 ln|a| + c

Resposta B: A^4/12 – 3/2a ^2+3 ln|a| + c

Desafio B

Suponha que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de U$ 10.000 e um custo marginal de C¢(q) =1000 + 50q dólares por pé, onde q é a profundidade em pés. Sabendo que C(0) = 10.000, a alternativa que expressa C(q), o custo total para se perfurar q pés, é:

Custo fixo= 10.000

C(q) =1.000+ 50q

C(o) =10.000

C(total)=?

Ctotal(q)= ∫ C’(q) dq

Ctotal(q)= ∫ (1000+50q) dq

1000q+50q^2/2 + C

Ctotal(q)= 1000q + 25q^2+ 10000

Resposta A: Ctotal(q)= 1000q + 25q^2+ 10000

Desafio C:

No início dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petróleo no instante t, onde t é o número de anos contados a partir do início de 1990. Um modelo aproximado para C(t) é dado por: C(t) =16,1.e0,07t. Qual das alternativas abaixo responde corretamente a quantidade de petróleo consumida entre 1992 e 1994?

(a) 56,43 bilhões de barris de petróleo

(b) 48,78 bilhões de barris de petróleo

(c) 39,76 bilhões de barris de petróleo

(d) 26,54 bilhões de barris de petróleo

(e) Nenhuma das alternativas

1992 ~ 1994:

C’ (t) = 16,1 . e ^ 0,07 dt

Ctotal (t) = ∫ 16,1 e ^ 0,07 dt

Ctotal (t) = 16,1 ∫ e ^ 0,07 t/0,07

Ctotal (t) = 230^0,07t

C(4)= 230^0,07^4 =230e^0,28 = 304,32

C(2)= 230^0,07^2 =230e^0,14 = 264,56

Variação= C(4) - C(2) =?

Variação= 304,32 – 264,56= 39,76

Resposta C: 39,76

Desafio D

A área sob a curva y = ex/2de x = −3 a x = 2é dada por:

(a) 4,99 (b) 3,22 (c) 6,88 (d) 1,11 (e) 2,22

-3 ʃ 2 ex/2dx =

u = x/2

du = d dxx . 2 – x .d dx222 = 2/4dx

u = ½ dx=

2 du = dx

-3.2 e u².du

2-3.2eudu=2.ex22-3=2.e22-2.e-3.2=5,43-0,44=4,99

Resposta: Alternativa (a) 4,99

Passo 3

Marquem a resposta correta dos desafios A, B, C e D, justificando através dos cálculos realizados, o porquê de uma alternativa ter sido considerada.

Para o Desafio A:

Relacionamos ao número 3 porque através dos cálculos executados no desafio A do passo 2 a alternativa (b) foi a conclusão de nossa resposta.Essa resposta foi obtida utilizando o conhecimento adquirido em sala de aula de integrais.

Para o Desafio B:

Relacionamos ao número 0 porque através dos cálculos executados no desafio B do passo 2 a alternativa (a) foi a conclusão de nossa resposta.Essa resposta foi obtida utilizando o conhecimento adquirido em sala de aula em cálculo II reunindo com o conhecimento atual sobre integrais.

Para o Desafio C:

Relacionamos ao número 1 porque através dos cálculos executados no desafio C do passo 2 a alternativa (c) foi a conclusão de nossa resposta.Essa resposta foi obtida porque estabelecemos duas soluções usando o algarismo final dos anos descritos, em 1992 usamos o número 2, e em 1994 usamos o número 4.

Para o desafio D:

Relacionamos ao número 9 porque através dos cálculos executados no desafio D do passo 2 a alternativa (a) foi a conclusão de nossa resposta. Essa resposta foi obtida usando a regrada substituição para integração e cálculo da área da curva.

Passo 4

A seqüência encontrada dos números foram 3019, sendo assim, essa é a quantidade de petróleo que poderá ser extraído mensalmente.

Etapa 2 - Integração por Substituição e por Partes

Passo 1

A idéia da integração por substituição é transformar uma integral que você não conhece o resultado em uma que você conhece.

Mas pra fazer isso você tem que assegurar que as duas integrais são equivalentes

Uma "regra" pra fazer integral por substituição é tentar escolher uma parte do problema (ex: u = x^2-1) e substituir por outra variável. A partir dessa nova variável deriva-se essa expressão (ex: du/dx = d(x²^2-1)/dx= 2x) e temos uma relação entre o du e o dx (ex: du = 2xdx). Então se retorna à expressão inicial e substitui o x e o dx.

Já a integração por partes é um método que permite expressar a integral de um produto de funções em outra integral, pode ser vista como uma versão integrada da regra do produto.

A fórmula típica é a seguinte, onde e são funções de classe C1 no intervalo, ou seja, são diferenciáveis e suas derivadas são contínuas entre a e b.

Passo 2

Considerando as igualdades abaixo:

I) ∫ (3-1) . (t^2- 6t)4 dt = -(t^2 - 6t)5 + C/10

u= t^2- 6t

du= t^2- 6t dt

dt= du/2t-6

∫ (3-t) u^4 du/-2(t-3)

-1/2 ∫ u^4 du

-1/2 u^5/5 = -1/10(t^2-6t)^5

Resposta verdadeira: -1/10(t^2-6t)^5

II) 0∫5 t/√t+4 dt = 4,67

0∫5 t (t+4)^-1/2 dt

U= t+4 (u-4) =t

Du= 1

0∫5 (u-4) (u)^-1/2du=

0∫5 (u^1/2 -4u ^-1/2) du = (u^3/2 – 4u^1/2/1/2) 5|0

= (2/3/√u^3 -8/√u) 5|0

= (2/3/√(t+4)^3 -8/√t+4) 5|0

= (2/3/√9^3 -8/√9) –(4/3/√9^3 -8/√4)

= (2/3x 27 – 8x3) – ( 2/3x8 -8x2)

= (18-24) – (16/3 -16)

= -6 + 32/3 = 14/3 = 4,67

Resposta verdadeira: 4,67

Podemos afirmar que:

(a) (I) e (II) são verdadeiras

Passo 3

Para o Desafio:

Associamos o número 4 porque através dos cálculos executados no passo dois a alternativa correta é a (a).

Passo 4

2. A seqüência de números encontrada na etapa 1 foram 3019, portanto associando o número 4, temos que a quantidade de petróleo que poderá ser extraído mensalmente é de 30194.

Etapa 3 – Calculo de Área

Passo 1 -

FAZER A PESQUISA

Passo 2

Considere as seguintes regiões S1 (figura1) e S2 (figua2). A áreas de S1 e S2 são, respectivamente 0, 6931 u.a e 6,3863 u.a.

Calculo figura 1:

Y= x

(2,1/2) (0,0)

Determinante:

X Y 1 X Y

2 ½ 1 2 ½ = -2y+x/2=0

0 0 1 0 0 -2y=-x/2

Y=x/4

A1 = 0∫1 x – x/4 dx

= (x^2/2 – x^2/8) 0 |1 1/2 - 1/8 = 4/8 -1/8 = 3/8

A2 = 1∫2 1/ x – x/4 dx

= (ln|x| - x^2/8) = ( ln |2| - (2)^2/8) – ( ln|1| - (1)^2/8)

= ln |2| - 4/8 -1/8 = ln |2| - 3/8 = 0,31

Atotal = A1+A2

Atotal = 3/8 (ln |2| - 3/8) = ln |2|

Atotal = 0,6991

Calculo figura 2:

A1 = retângulo

A1 = 4.1 = 4

A2=1∫4 x – 4/x dx = 4∫1/x dx

4. ln |x| 1|4

4. ln |4| = 5,54

Atotal = A1+A2

Atotal = 4 + 5.54 = 9,54

4. Atotal = 4 . 9,54 = 38,16

Resposta: © (I) verdadeira e (II) falsa

Passo 3

Para o Desafio:

Associamos o número 8 porque através dos cálculos executados no passo dois a alternativa correta é a (c).

Passo 4

2. A seqüência de números encontrada na etapa 2 foram 30194, portanto associando o número 8, temos que a quantidade de petróleo que poderá ser extraído mensalmente é de 301948.

Etapa 4 – Volume de Sólido e Resolução

Passo 1

FAZER A PESQUISA

Passo 2

Desafio A:

A área da superfície de resolução obtida pela rotação, em torno do eixo x, da curva dada por y=4√x de ¼ < =x<= 4 é: 2π/3 . (128√2 -17√17). Esta correta essa afirmação?

Calculo figura 3:

y=4√x ¼ <=x<= 4

em x relacionar:

2π/3 [128√2 -17√17]

Y= 4x^1/2

Y’= dy/dx = 4. ½ x ^1/2= 2/√2

A= 2π 4∫1/4 4√x √(2/√x)^2 + 1 Dx

X Y=4√x X,Y

1/4 4. √1/4=4.1/2=2 (1/4,2)

1 4. √1=4.1=4 (1,4)

4 4√4=4.2=8 (4,8)

A= 2π 4∫1/4 4√x √(2/√x)^2 + 1 Dx

8π 4∫1/4 √x √(4/√x) + 1 Dx

8π 4∫1/4 √x √4+x/x Dx

A= 8π 4∫1/4 √x √4+x/√x Dx

A= 8π 4∫1/4 √4+x Dx

U=4+x

Du=Dx

A= 8π 4∫1/4 u^1/2 du

A= 8π 4∫1/4 u^1/2 dx

A= 8π u^3/2/ u^3/2 4|1/4

A= 8π 2/3√u3 4|1/4

A= 16/3π (√(4+x)^3

A= 16/3π (√8^3 - √(17/4)^3

A= 16/3π (8√8-17/4√17/4

A= 16/3π[16√2 - 17√17/8]

A= 16/3π(128√2-17√17/8]

A= 2/3π(128√2-17√17)

Desafio B:

Qual é o volume do sólido de resolução obtido pela rotação, em torno da reta y=2,da região R delimitada pelos gráficos das equações: y=senx, y=(senx)^3 de x=0 até x= π/2?

a) 3,26 u.v b)4,67 u.v c)5,32 u.v d)6,51 u.v e)6,98 u.v

V= [ π/2∫0 (senx)^2 dx - ∫(-cosx+1)^2 dx]

V= [ π/2∫0 sen^2x dx - π/2∫0 cos^2xdx + 2 π/2∫0 cos xdx π/2∫01dx]

V= π [x/2 –senx cosx/2] - π/2∫0 cos^2 x dx +2 π/2∫0 cosx dx π/2∫0 1dx

V= π [π/2∫0 senx senx dx – π/2∫0 (cosx cosx dx + 2(senx) π/2|0 – (X) π/2|0

π/2∫0 cos^2 x dx= π/2∫0 cosx . cosx dx = cosx.cosx - ∫cos(-senx)dx

u=cosx cosxsenx+ ∫ -sen^2xdx

Du= -senx cosx senx - ∫ -sen^2xdx

Dv=cosx

V=senx

V= π[π/2∫0 sen^2xdx-(cosxsenx) π/2|0 - π/2∫0 sen^2x dx )] +2 (senπ/2-sen0)-π/2-0

V= π[2. π/2∫0 sem^2 x dx – (cosx senx) π/2|0 +2π/2

V= (-senx cosx +x) π/2|0 +2 -2π/2

V=π/2 + 2-π/2 = 2

Passo 3

Para o Desafio A:

Associamos o número 4 porque através dos cálculos executados no desafio A

a resposta esta correta.

Para o Desafio B:

Associamos o número x porque através dos cálculos executados no desafio A

a resposta esta correta.

Passo 4

2. A seqüência de números encontrada na etapa 3 foram 301948, portanto associando o número x, temos que a quantidade de petróleo que poderá ser extraído mensalmente é 301948x.