Atps Calculo 3

Sumário

1. Introdução 5

2. Teoria e Historia do uso de Integrais 5

2.1. Desafio A 6

2.1.1.Grafico da Integral do Desafio A 7

2.2. Desafio B 7

2.2.1. Gráfico da Integral do Desafio B 9

2.3. Desafio C 9

2.3.1. Grafico da Integral do Desafio C 11

2.4. Desafio D 11

2.4.1. Gráfico da Integral do Desafio D 12

3. O Nascimento do Cálculo 13

3.1. O Cálculo Integral: alguns fatos históricos 14

3.2. Primitivação por Partes 17

4. Cálculos das igualdades dadas 24

4.1. Calculo I 24

4.2. Calculo II 25

Bibliografia 28

Introdução

Nessas duas primeiras etapas falaremos sobre o conceito pratico, teórico e aplicaremos o uso de integrais definidas, indefinidas e calculo de áreas, pelos métodos de substituição e por partes para solucionar situações do dia a dia de um engenheiro que trabalha com a extração de petróleo. Para solucionar todas as situações precisamos consultar tabelas, pesquisar em sites e livros confiáveis, como o PLT da disciplina em questão.

Teoria e Historia do uso de Integrais

O conhecimento formal de integrais vem sendo construído à séculos e se estrutura em regras que precisam ser reformuladas por diversos matemáticos. A união das partes conhecidas e utilizadas até então, aliada ao desenvolvimento e aperfeiçoamento das técnicas, aconteceu com Newton e Leibniz, que deram origem aos fundamentos mais importantes do Cálculo: as derivadas e as integrais. Assim podemos dividir o Cálculo em duas partes; uma relacionada às 10 derivadas ou cálculo diferencial e outra parte relacionada as integrais ou cálculo integral, que é o nosso foco nessa etapa.

Os primeiros problemas que aparecem na História relacionado com as integrais são os problemas de quadratura. Um dos problemas mais antigos enfrentados pêlos gregos foi a medição de superfícies a fim de encontrar suas áreas. Quando os antigos geômetras começaram a estudar as áreas de figuras planas, eles a relacionavam com a área do quadrado, por ser esta figura plana mais simples. Assim buscavam encontrar um quadrado que tivesse a área igual a da figura em questão. A palavra quadratura é um termo antigo que se tornou sinônimo do processo de determinar áreas. Para facilitar nossa compreensão vamos mostrar o procedimento teórico durante a aplicação nos exercícios propostos

Desafio A

Se F é uma função de X então a sua integral indefinida significa que ela é uma integral onde não temos um intervalo de estudo definido, como vemos no exercício abaixo:

∫▒〖(a^3¦3+3/a^3 +3/a) .dx〗

1/3 ∫▒〖a^3/3.dx+ ∫▒〖3/a^3 .dx +3∫▒dx/a〗〗

1/3 ∫▒〖a^(1+3)/(3+1 ).dx+ 3∫▒〖dx/a^3 +3∫▒dx/a〗〗

a^4/12+〖3a〗^(-3+1)/(-3+1)+3ln⁡(a)

a^4/12+〖3a〗^(-2)/(-2)+3ln⁡(a)

[a^4/12- 3/(2a^2 )+3 ln⁡(a) ]

Então podemos afirmar que a alternativa correta é B.

2.1.1.Grafico da Integral do Desafio A

Grafico da integral do Desafio A

Desafio B

A Função C’(q) = 1000+50q é uma derivada da função primitiva C(q) = 10000+1000q+25q2, onde 10.000 representa a nossa constante C. O resultado foi obtido pela a integração indefinida demonstrada a seguir:

C(q)=100+25q^2

∫▒(1000++25q^2 )

∫▒〖1000.dq〗+∫▒〖25q^2.dq〗

1000q+〖25q〗^2/2+C

Constante dada pelo exercício

C = 10.000

C(q)= 10000 + 1000q + 〖25q〗^2/2

A alternativa certa é A.

Gráfico da Integral do Desafio B

Desafio C

A integral definida no intervalo de tempo entre (2,4) anos onde 2 é o limite inferior e 4 é o limite superior da integração. Nesta função foi utilizado o método da substituição, que nesse caso facilita a resolução desse exercício e de dificuldades similares como mostra o calculo C:

∫_2^4▒〖16,1 .e^0,07t.dt〗

16,1∫_2^4▒〖 e^0,07t.dt〗

U=0,07t

du/dt=0,07 ⇒ dt= du/0,07

16,1∫_2^4▒〖 e^U 〗.du/0,07

16,1 .e^U . 1/0,07

230 .e^U

230 .e^0,07t

Intervalo de 2 a 4

230 .e^0,07t

[230 .e^(0,07(4)) ]- [230 .e^(0.07(2)) ]

[304,31]- [264,56]

[3975]

Está correta a alternativa C

Grafico da Integral do Desafio C

Desafio