Atps De Calculo 2

Sumário

1-Introdução........................................................................................................................03

2-Etapa 1. Passo 1 VELOCIDADE INSTANTANEA......................................................04

3-Etapa 1. Passo 2 TABELA..............................................................................................07

4-Etapa 1. Passo 3 ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA......................................................08

5-Etapa 1. Passo 4 GRÁFICO.............................................................................................09

6-Etapa 2. Passo 1 CONSTANTE DE EULER..................................................................10

7-Etapa 2. Passo 2 SÉRIES HARMÔNICAS.....................................................................12

8-Etapa 2. Passo 3 CRESCIMENTO POPULACIONAL..................................................13

9-Etapa 3. Passo 1 TABELA.............................................................................................14

10.Etapa 3.passo2................................................................................................................16

11. Etapa 3.passo 3..............................................................................................................17

12.Etapa3. passo 4...............................................................................................................18

13 Etapa 4.Passo 1..............................................................................................................19

14.Etapa4. passo 2...............................................................................................................21

15- Conclusão.....................................................................................................................23

16-Referencias Bibliográficas.............................................................................................24

1 INTRODUÇÃO

Esse trabalho foi realizado pela equipe visando um maior entendimento sobre o assunto proposto no desafio. Em exercícios vamos estudar cálculos e curiosidades. Temos como objetivo resolver algumas questões nas áreas de calculo tais como as velocidades e aceleração instantânea, e elaborar um Trabalho descrevendo todos os passos de nossa pesquisa.

2 Etapa 01-Passo 01

VELOCIDADE INSTANTÂNEA

Quanto menor for Δt e Δx, conseqüentemente, mais o seguimento de reta, cuja declividade é a velocidade média entre os dois pontos do percurso considerados, se aproxima de algum trecho do gráfico real. Em geral isso só ocorre quando o valor de Δt tende a zero. Isso quer dizer que o valor de Δt é arbitrariamente pequeno (próximo de zero). A velocidade instantânea é a velocidade “média” entre os dois pontos muito próximos (com certo abuso de linguagem, podemos dizer que os pontos são infinitamente próximos). Pode-se diminuir o intervalo de tempo Δt o quanto se desejar e, assim, pode-se chegar o mais próximo quanto se desejar da velocidade instantânea (ao ponto de conseguir determinar exatamente o quanto ela vale). Para isso, fazemos com que Δt tenda a zero. Ou seja, se faz com que o valor de Δt seja arbitrariamente pequeno. Como visto, a velocidade média é definida como v=Δx/Δt, mas podemos escrevê-la como: Onde x(t+ Δt) é a posição final (posição no instante t+ Δt – que é o tempo final) e x(t) é a posição inicial (posição no instante t - tempo inicial). A velocidade instantânea num instante t é conseguida quando diminuímos Δt a valores muito próximos de zero (diz-se que Δt tende a zero). Ou seja: A indicação lim Δt→0 quer dizer limite quando Δt tende a zero. Por exemplo, se a função que determina a posição em função do tempo é t², ou seja, x(t)=t², a velocidade instantânea num instante t será dada por:

Desprezamos o termo Δt , pois esse tende a zero. Percebe-se que, embora Δt e Δx tendam a zero, a razão Δx/ Δt converge para um valor finito bem definido. De forma geral (se tratando de qualquer função), a equação (1) é a definição de derivada (é comum a utilização da notação dx(t)/dt para indicar derivada). Diz-se que a velocidade instantânea é a derivada do espaço em relação ao tempo.

Também se atribui uma interpretação geométrica para a derivada:

Dessa forma, quanto mais se aproxima Δt de zero, mais os pontos cortados pela reta secante ao gráfico, cuja declividade dá a velocidade média entre os pontos considerados, se aproximam. Assim, ao se fazer Δt tender a zero, os pontos cortados ficam o mais próximos quanto desejarmos, ou seja, temos, na verdade, uma reta tangente ao gráfico.

Conclui-se que a velocidade instantânea num instante t é a declividade da reta tangente ao gráfico no ponto (t, x(t)). Afinal, essa declividade é a “velocidade média” entre os dois pontos muito próximos.

Muitas vezes é complicado calcular derivadas através da definição, mas existem teoremas que facilitam o cálculo de derivadas. Alguns desses teoremas estão expostos abaixo (sem demonstrá-los – exceto um -, pois não é o objetivo do post): a - A derivada de uma função constante é sempre nula. Ou seja, d[x(t)]/dt=0 para todo t quando x(t)=constante. b - A derivada de uma função constante multiplicada por uma não constante é o produto entre a função constante e a derivada da função não constante. Ou

seja: Onde a é uma constante.

A