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Passo 01

Técnicas de derivação

O cálculo da derivada de uma função, dependendo da função pode ser bastante complicado. Contudo, com base na definição de derivada da função, é possível obter várias regras/técnicas que facilitam muito o trabalho. As técnicas de derivação são usadas para soma, produto e quociente de funções aplicadas de modo pratico e de maneira simplificado.

As regras de derivação são importantes no cálculo de derivadas de qualquer função, Seja f(x) uma função de x, então temos as seguintes regras de derivação:

f(x)=k ⇨f^' (x)=0,onde k é umas constante;

f(x)=ax+b ⇨f^' (x)=a,onde a e b são constantes;

f(x)=x^n ⇨f^' (x)=nx^(n-1), onde n é real, racionais;

f(x)=g(x)+h(x) ⇨f^' (x)=g^' (x)+h^' (x),derivada da função soma;

f(x)=u(x)*v(x) ⇨f^' (x)=u(x)*v^' (x)+v(x)*u^' (x),derivada da função produto;

f(x)=u(x)/v(x) ⇨f^' (x)=(v(x) u^' (x)-u(x) v^' (x))/(v(x)^2 ),derivada da função quociente;

Estas são umas das regras que acreditamos ser mais usadas no dia a dia dos usuários de derivadas. No entanto, dentre as técnicas gostaríamos de relatar a Notação de Leibniz, desenvolvida por GottFried Wilhelm, onde representou a derivada de y em relação à x através dy/dx , além de desenvolver diversos procedimentos para quadraturas de Curvas, A definição dada por Leibniz para dy é a diferença de uma variável y, como a diferença infinitamente pequenas entre dois valores consecutivos de y.

As técnicas de derivação tem por finalidade nos fornecer procedimentos que permite-nos obter de forma simples e prática as funções derivadas, ou seja, dada uma função seja ela constante, do 1º grau entre outras existira uma técnica de derivação para adquirimos de maneira rápida e prática e simplificado sua derivada.

Passo 02

Segundo Bonetto?Giácomo (p.199 a 200) seja a função,

f(x)=n^x

Onde n é um numero real, então sua derivada será,

f^' (x)=nx^(n-1)

De modo simplificado,

y=n^x→y^'=nx^(n-1)

Onde n é real.

O passo 02 pede que se calcule a derivada de f(x)=3x²+5x-12, logo

Em f(x)=3x²+5x-12, temos a constante 3 multiplicando x², a constante 5 multiplicando x e a constante -12 é multiplicada por zero.

Resolução

Derivamos x² e x enquanto as constantes 3 e5 “espera”, para a multiplicação no final. Devemos ressaltar que a derivada da constante -12 é igual a zero, pois a mesma é multiplicada por Zero, logo temos

f(x)=3x²+5x-12

f'(x)=〖3(2x〗^(2-1))〖+ 5(1x〗^(1-1))-0

f^'(x) =3(2x)+5-0

f'(x)=6x+5

A derivada da função f(x) = 3x² + 5x – 12 é igual f’(x)=6x+5.

Passo 03

d) A taxa de variação média é a inclinação da reta secante.

Se y=f(x), então a taxa de varia média de y em relação à x no intervalo (x^0;x^1) é a inclinação/ coeficiente angular a da reta secante ao gráfico de f que passa pelos pontos (x^0;f(x^0 ) ) e (x^1;f(x^1 ) ),ou seja,Tvm=(〖f(x〗^1)-f〖(x〗^0))/(x^1-x^0 ) ou Tvm=Δy/Δx .

Considere a função f(t)=8t²+2t, que define a velocidade (em metros por segundo) de um veiculo, em função do espaço percorrido. Podemos nota que num determinado espaço o automóvel passa de t=1 para t=3, Determine a equação da reta secante à curva do gráfico da função para tais valores de t.

Resolução.

Seja f(t)=8t²+2t, logo encontraremos a taxa de variação média por Tvm=Δy/Δx que será igual ao coeficiente angula da reta que por usa vez é igual à inclinação da reta, ou seja, A taxa de variação Média é a inclinação da reta secante à curva do gráfico f(t) passando nos pontos (1;f'(t) ) e 3;f'(t)).

f(t)=8t^2+2t

Tvm=(f^' (t^1 )-f^' (t^0 ))/(t^1-t^0 )

f(1)=8(1)^2+2(1)→t(1)=8+2=10

f(3)=8(3)^2+2(3)→f(3)=72+6=78

Logo;

Tvm=(78-10)/(3-1) →Tvm=68/2=34

f(t)=8t^2+2t ⇨f(1)=10 ⇨f(3)=78

Tvm=34=a inclinação da reta=a . A equação da reta secante será dada por

y=ax+b,onde passara nos pontos (1;10) e (3;78),sendo a=34.

y=34t+b

10=34(1)+b →10-34=b→-24=b

y=34t-24

A equação