Atps Matematica

Revisão de equação do 2º grau

Exemplos: Resolva as seguintes equações do segundo grau:

a) x² - 5x + 6 = 0

Δ = b² - 4ac

Δ = (-5)² - 4.1.6

Δ = 25 – 24 = 1

x = -b ±√Δ

2a

x = -(-5) ±√1

2.1

x = 5 ± 1

2

x1 = 3 e x2 = 2

Portanto: Δ > 0 → duas raízes reais e distintas.

b) x² - 4x + 4 = 0

Δ = b² - 4ac

Δ = (-4)² - 4.1.4

Δ = 16 – 16 = 0

x = -b ±√Δ

2a

x = -(-4) ±√0

2.1

x = 4 ± 0

2

x1 = 2 e x2 = 2

Portanto: Δ = 0 → duas raízes reais e iguais.

c) x² - 4x + 5 = 0

Δ = b² - 4ac

Δ = (-4)² - 4.1.5

Δ = 16 – 20 = -4

x = -b ±√Δ

2a

x = -(-4) ±√-4 √-4 = √4.(-1) como i² = -1 temos: √4i² = ±2i

2.1

x = 4 ± 2i

2

x = 2(2 ± i)

2

x1 = 2 - i e x2 = 2 + i

Portanto: Δ < 0 → não existe raiz real.

DEFINIÇÃO

A equação diferencial da forma ay’’ + by’ + cy = k(x) é denominada equação diferencial linear de 2ª ordem, onde a ε R*, b e c ε R.

Se k(x) = 0, a equação linear é homogênea.

Se k(0) ≠ 0, a equação linear não é homogênea.

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES LINEARES DE 2ª ORDEM HOMOGÊNEA

Forma padrão: ay’’ + by’ + cy = 0

Exemplos:

y’’ + 6y’ + 5y = 0 → a = 1; b = 6 e c = 5

y’’ + y’ = 0 → a = 1; b = 1 e c = 0

2y’’ – 5y’ + 4y = 0 → a = 1; b = -5 e c = 4

y’’ - 9y = 0 → a = 1; b = 0 e c = -9

EQUAÇÃO AUXILIAR OU EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA

Para determinarmos a solução geral de uma equação diferencial linear de 2ª ordem devemos usar uma equação auxiliar ar² + br + c = 0.

Logo: ay’’ + by’ + cy = 0

ar² + br + c = 0 → equação auxiliar ou equação característica

Para encontrarmos a equação auxiliar, substituímos:

y’’ = r²; y’ = r e y = 1

SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL LINEAR DE 2ª ORDEM

As soluções usuais destas equações são funções exponenciais, funções lineares e as funções trigonométricas seno e cosseno, que