Atps Matematica Aplicada 4 Semestre

Passo 2

Resolução:

∫ (a^3/3+3/a^3 +3/a)

∫ (a^3/3+3a^(-3)+3a^(-1) )da

∫ (a^(3+1)/□(3/(3+1))+〖3a〗^(-3+1)/(-3+1)+〖3a〗^(-1+1)/(-1+1))da

∫ (1/4.a^4/3+〖3a〗^(-2)/(-2)+3.1)da

∫ (a^4/12+〖3a〗^(-2)/(-2)+3)da

F(a)=a^4/12-3/〖2a〗^2 +3ln|a|+C

Portanto a resposta certa é a letra B.

Desafio B

Suponha que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de U$ 10.000 e um custo marginal de C’(q) = 1000+50q dólares por pé, onde q é a profundidade em pés. Sabendo que C(0) = 10.000, a alternativa que expressa C(q), o custo total para se perfurar q pés é:

C(q)=10.000+1.000q+25q2

C(q)=10.000+25q+1.000 q2

C(q)=10.000q2

C(q)=10.000+25 q2

C(q)=10.000q+ q2+ q2

Resolução:

∫▒〖(1000+50q)dq〗

∫▒〖(1000+〖50q〗^(1+1)/(1+1))dq〗

∫▒〖(1000+〖50q〗^2/2)dq〗

∫▒〖(1000+25q^2)dq〗

Então:

C(q)=10.000+1000q+25q^2

Resposta correta letra A

Desafio C

No inicio dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petróleo no instante t, onde t é o número de anos contados a partir do inicio de 1990. Um modelo aproximado para C(t) é dado por: C(t) = 16,1. e0,07t . Qual das alternativas abaixo responde corretamente a quantidade de petróleo consumida entre 1992 e 1994?

Resolução:

C(t)= 16,1 e0,07t dt

∫_2^4▒〖16,1 .e^0,07t 〗 dt

16,1∫_2^4▒〖 .e^0,07t 〗 dt

16,1/0,07 e0,07 . 4 – e0,07.4 - e0,07.4 = 39,76

Resposta correta letra C

Desafio D:

A área sob a curva y=ex/2 de x= -3 a x=2 é dada por:

A área sob a curva y=ex/2 de x= -3 a x=2 é dada por:

Resolução:

∫_(-3)^2▒e^(x/2 ) dx

2∫_(-3)^2▒e^(x/2 )

2.(e^(2/2) - e^((-3)/2)) = 4,99

Resposta correta letra A

Passo 3

Para desafio A

Associamos o numero 3, resposta certa letra B.

Para o desafio B

Associamos o numero 0, resposta certa letra A.

Para o desafio C

Associamos o número 1, resposta certa letra C.

Para o desafio D

Associamos o número 9, resposta certa letra A.

ETAPA 2

Passo I

O método da Integração por Partes

A Integração por Partes é, basicamente, a volta da Regra do Produto para derivadas. Assim, vamos retomá-la. Se quisermos diferenciar uma função do tipo f(x)g(x), fazemos dx[f(x)g(x)]=f(x)g'(x)+g(x)f'(x).

Mas daí tem que f(x)g'(x)+f'(x)g(x) é uma primitiva para f(x)g(x).

Assim, podemos reescrever a fórmula acima em termos de integral indefinida como:

∫▒〖f(x) g^'(x) +g(x)f(x)dx=f(x)g(x)+C〗

Separando a soma e reorganizando os termos obtemos

∫▒〖f(x) g^' (x)dx=f(x)g(x)-∫▒〖g(x)f(x)dx〗〗

que é a fórmula para a Integração por Partes. A constante C pode ser omitida na linha anterior, pois fica embutida na integral ∫f'(x)g(x)dx.

Uma maneira mais usual de escrever a fórmula de Integração por partes é utilizar a notação diferencial e fazer

u=f(x),du=f(x)dx e v=g(x),dv=g^' (x)dx ,

então , obtemos a versão mais difundida da Integração por partes, como mostra o quadro abaixo:

Fórmula para a Integração por Partes

∫▒〖udv=uv- ∫▒vdu〗

Observação: Note que a Integração por Partes não resolve imediatamente a integral ∫udv, pois é preciso calcular a integral ∫vdu para obter uma resposta sem integrais. O grande objetivo da Integração por Partes é trocar uma integral mais difícil de resolver por uma mais fácil.

Regra por substituição

O processo de integração não é tão simples quanto o de derivação. Porém, há algumas ideias e técnicas que são facilmente aplicáveis, como a aplicação das propriedades de integração já vistas. Outra técnica muito importante de integração é a Regra da Substituição. Esta regra consiste na aplicação da Regra da Cadeia (para derivadas!) ao contrário.

Exemplo:

dxsin (x^2 )=2x cos⁡(x^2 → ∫▒〖2x cos⁡(x^2 ) 〗 dx=sin2+C

Veja que, no integrando, temos uma "função de fora", cosx, e uma função de dentro, x2, e que há um produto entre a "função de fora" e a derivada da "função de dentro". Essa expressão caracteriza, exatamente, uma derivada de uma função composta calculada pela Regra da Cadeia. Quando encontramos sua primitiva, estamos fazendo o processo contrário da Regra da Cadeia. Se chamarmos a "função de fora" de

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