Atps Matemática

Etapa 3 passo 3

A equação da demanda é um função de terceiro grau, para resolver-mos teremos que usar a relação de Girard. Vamos desenvlover da seguinte forma:

Pela relação de Girard, um polinômio de 3º é dada:

x³ + b/ax² + c/ax + d/a = x³ - (x₁+x₂+x₃)x² + (x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃)x - x₁x₂x₃, onde:

a) x₁+x₂+x₃ = - b/a;

b) x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃ = c/a; e

c) x₁x₂x₃ = -d/a.

Se p = -q³ + 12q² ; a = -1 // b = 12 // c = 0 // d = 0, aplicando nas raízes acima (Relação Girard):

a) -b/a = -12/-1 = 12

p = (-12)³ +12(12)² => p = 0

b) c/a = 0/12 = 0

p = 0

c) -d/a = 0/12 = 0

p = 0

Observamos que quaisquer que sejam a quantidade produzida, esta empresa terá prejuízo, pois não conseguirá suprir a demanda.

Etapa 3 Passo 4

Quando o preço de uma determinada mercadoria é R$ 100,00, nenhuma mercadoriaé vendida. Assim, como "x" é a quantidade procurada, então substituiremos "x" porzero; e como "y" é o preço da mercadoria, então substituirá "y" por 100. Assim, vamosficar com:100 = a*0 + b100 = 0 + b100 = b, ou, invertendo: b = 100 <--- Este é o valor de "b", da função y = ax + b.II) Quando a mercadoria é fornecida gratuitamente (ou seja, a preço zero), 50 produtossão procurados.Assim, como "x' é a quantidade procurada, então substituiremos "x" por 50; e como"y" é o preço da mercadoria, substituirá "y" por zero. Assim, ficaremos com:0 = a*50 + b0 = 50a + b --- vamos inverter, ficando:50a + b = 0 ---- como já temos que b = 100, então fazendo essa substituição, temos:50a + 100 = 050a = - 100a = - 100/50a = - 2 <--- Este é o valor de "a".III) Assim, a função y = ax + b ficará sendo, após substituirmos "a" por (-2) e "b" por100:y = - 2x + 100 <--- Esta é a função demanda.IV) Agora vamos encontrar qual é a quantidade procurada quando o preço for de R$30,00. Para isso, substituiremos "y" por 30 e teremos a quantidade "x" demandada.Assim, temos:

30 = - 2x + 100 ----- passando "100" para o 1º membro, temos:30 - 100 = - 2x- 70 = - 2x ----- multiplicando ambos os membros por (-1), ficamos com:70 = 2x ---- invertendo, temos:2x = 70x = 70/2x = 35 <--- Esta é a resposta. Esta é a quantidade demandada quando o preço for de R$30,00

Etapa 4

Passo 1

f'(x) = 3*x² - 27

f'(x) = 3x² - 27

Agora vamos igualar a zero a função derivada acima para encontrar suas raízes. Assim:

3x² - 27 = 0

3x² = 27

x² = 27/3

x² = 9

x = ±√(9) ----- como √(9) = 3, então:

x = ± 3 , ou seja, temos duas raízes iguais a:

x' = - 3

x'' = 3

Agora veja: vamos estudar os sinais da função derivada acima, que é:

f'(x) = 3x² - 27 ...++++++++(-3)- - - - - - - (3)+++++++++

Veja: a função acima é positiva para x < -3 e para x > 3 e é negativa para "x" entre as raízes, ou seja, para: -3 < x < 3.

Observe: a função será crescente onde f'(x) for positivo e será decrescente onde f'(x) for negativo. Então teremos que a função será:

crescente no intervalo: x < -3, ou x > 3

decrescente no intervalo: -3 < x < 3

Agora vamos para os pontos máximos e mínimos locais.

i) Terá um máximo local quando x = -3. Para isso, basta você ir na função original, que é: f(x) = x³ - 27x + 60, e substituir o "x" por (-3) e encontrará o valor de f(x). Veja:

f(-3) = (-3)³ - 27*(-3) + 60

f(-3) = - 27 + 81 + 60

f(-3) = - 27 + 141

f(-3) = 114 .

Assim, a função terá um máximo local em (-3; 114)

ii) Terá um mínimo local quando x = 3. Assim, substituindo "x" por 3 na função original, que é f(x) = x³ - 27x + 60, temos: