Atps Mecânica Dos Fluidos

Equação de Bernoulli

Na maioria dos problemas, relacionados com escoamento de fluidos em dutos e tubulações, se requer a determinação das condições de uma seção do sistema quando se conhece alguma das condições de outra seção. Isto é ilustrado na Fig.6.1 onde se apresenta um sistema de distribuição de fluido com o escoamento da seção 1 para a seção 2. Em qualquer seção do sistema estamos interessados na pressão, velocidade e elevação do fluido. A elevação (z) é definida como a distância vertical desde algum sistema de referência a um ponto de interesse. Quando se trata de dutos a elevação é medida até a linha central da seção de interesse. A equação utilizada neste tipo de

problema é conhecida como Equação de Bernoulli, deduzida a partir da equação de conservação da energia.

Figura Esquema de duto inclinado

Conservação da Energia

No movimento de sólidos podemos aplicar o princípio da conservação da energia considerando que o atrito é desprezível. Nesse caso a soma da energia cinética e a energia potencial gravitacional considera-se constante. No escoamento de fluidos consideramos toda a energia do sistema. Pelo mesmo princípio de conservação de energia a energia total no sistema não muda considerando o atrito desprezível.

No escoamento em dutos (sem atrito) são consideradas três formas de energia: energia cinética, energia potencial e energia de pressão. Analisemos um elemento de fluido com massa específica escoando dentro da tubulação. Este terá uma certa velocidade v , uma pressão p, sendo localizado a uma altura z acima de um nível de referência. Estas formas de energia são dadas como:

A quantidade total de energia destas três formas será a soma da mesma representada como:

Cada um dos termos se expressa em unidades de energia newton-metro (N.m) no SI e pés-libra (pe/lb) no sistema inglês de unidades.

A soma de todas as energias por unidade de peso é denominada energia total por unidade de peso(H). Pelo princípio da conservação da energia, a energia total não muda no sistema. Desta forma a equação do Bernoulli pode ser escrita:

_

Como cada termo da equação de Bernoulli é o resultado de dividir uma expressão de energia pelo peso do elemento de fluido, rigorosamente o resultado representa a energia possuída pelo fluido por unidade de peso de fluido que escoa no sistema. No SI as unidades da Eq. de Bernoulli são (N.m)/N.

Como a unidade de peso (N) pode ser cancelada ficando somente a unidade de comprimento (m), os componentes da Eq. representam também alturas, denominadas alturas acima do nível de referência. A soma destes três termos recebe o nome de cota ou altura piezométrica.

(*) p representa a pressão termodinâmica referida também como pressão estática. Pode ser medida como uma sonda de pressão estática. A altura de pressão também é denomina altura de pressão estática.

A equação de Bernoulli é uma das equações mais importantes e úteis da Mecânica dos Fluidos tendo as seguintes restrições para sua aplicação:

• Escoamento em regime permanente;

• Massa específica constante (escoamento incompressível);

• Forças de atrito desprezíveis;

• Escoamento ao longo de uma única linha de corrente;

•Não pode existir transferência de calor para dentro ou fora do sistema;

• Não podem existir dispositivos mecânicos (bombas, ventiladores, turbinas) entre as seções de interesse que possam agregar ou absorver energia do sistema já que a equação estabelece que a energia total do fluido é constante.

Todas estas condições são impossíveis de satisfazer em qualquer instante de tempo num fluido real.

Afortunadamente para muitas aplicações reais a Eq. de Bernoulli fornece resultados satisfatórios.

Aplicação da Eq. de Bernoulli entre duas seções

Considerando uma tubulação (Fig. abaixo) onde o fluido move-se da seção 1 até a seção 2, os valores de pressão, elevação e velocidade são diferentes nas duas seções, contudo relacionados na equação de Bernoulli pela expressão.

Figura Alturas de energia da equação de Bernoulli

Quando se aplica a equação de Bernoulli é essencial que a pressão nos dois pontos de referência se expresse como absoluta ou como relativa (manométrica). Isto significa que devem ter a mesma pressão de referência. Na maioria dos problemas é conveniente utilizar a pressão manométrica já que partes do sistemas, expostas para a atmosfera, terão pressão relativa zero.

Comentários da Equação de Bernoulli

• A equação de Bernoulli é válida para: 1. Escoamento permanente. 2. Escoamento

incompressível. 3. Escoamento sem atrito. 4. Escoamento ao longo de uma linha de corrente.

• A Eq. Bernoulli representa a energia contida no fluido por unidade de peso de fluido que escoa no sistema.

• As unidades de cada termo no SI são newton-metro por newton (N.m/N). A unidade de peso (N) pode simplificar-se ficando somente por unidade de comprimento (m). Por isto os termos da Eq. de Bernoulli se conhecem como alturas em relação a um nível de referência.

• Quando se escreve a Eq. de Bernoulli é essencial que a pressão nos pontos de referência se expressem ambas como pressões absolutas ou como pressões relativas ( manométricas).

• Na maioria dos problemas pode ser conveniente utilizar a pressão manométrica já que partes do sistema pode estar expostas à atmosfera tendo então pressão nula.

• Quando a equação de Bernoulli é combinada com a equação da continuidade podem ser utilizadas para determinar as velocidades e pressões em pontos no fluxo conectados por uma linha de corrente.