Atps Vetores

Quando trabalhamos com grandezas vetoriais, utilizamos a álgebra vetorial, que opera com um ente matemático denominado vetor. Para o que nos interessa, podemos conceituar vetor como o ente matemático que representa o conjunto dos segmentos orientados de reta que têm o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido.

Representação de vetores

Representa-se o vetor por um segmento de reta orientado de reta com origem em A e extremidade em B. O comprimento desse segmento representa o módulo do vetor em uma escala de representação gráfica. Se o vetor estiver representando uma grandeza vetorial, podemos usar a notação (em que se usa a letra que representa a grandeza com uma seta em cima, sendo a seta sempre horizontal e para a direita). Veja a figura acima.

As características gerais que definem um vetor são:

- intensidade

- direção

- sentido

A definição da intensidade ou módulo de um vetor é a medida que obtemos quando comparamos um vetor com outro de mesma espécie, considerado como unidade. Por exemplo: o módulo da velocidade de um carro em certo instante é de 50 km/h, se o vetor velocidade adotado como unitário estiver contido 50 vezes no vetor considerado.

Define-se direção de um vetor como sendo a reta suporte do segmento orientado que o representa. Para saber a direção de um vetor, basta saber a direção de sua reta suporte.

O sentido de um vetor é para onde aponta sua extremidade.

Alguns vetores particulares

Dizemos que dois vetores ou mais são iguais ou equipolentes se seus módulos também forem iguais, se suas direções forem iguais e se possuírem o mesmo sentido. Veja abaixo a representação de vetores iguais:

Porém, quando pelo menos uma das características citadas anteriormente é diferente, dizemos que os vetores são diferentes. Chamamos de vetor oposto de um vetor B o vetor –B, que possui o mesmo módulo, mesma direção, porém seu sentido é oposto ao de B.

Vetores no espaço R³

Existe uma estreita relação entre vetores no espaço R2 e no espaço R³. Na verdade, o conceito de vetor geométrico nos espaços euclidianos é sempre realizado da mesma forma, o que diferencia são as aplicações mais ricas que existem em R³.

Definição: Um vetor (geométrico) no espaço R³ é uma classe de objetos matemáticos (segmentos de reta) que tem a mesma direção, mesmo sentido e mesma intensidade. Esta classe de equivalência de objetos com as mesmas características é representada por um segmento de reta desta família (representante).

O representante escolhido, quase sempre é o vetor v cuja origem é (0,0,0) e extremidade é o terno ordenado (a,b,c) do espaço R³, razão pela qual denotamos este vetor por: v=(a,b,c).

Se a origem do vetor não é a origem (0,0,0) do sistema R³, realizamos a diferença entre a extremidade e a origem do vetor. Por exemplo, se um vetor v tem origem em (1,2,3) e extremidade em (7,12,15), ele é dado por v=(6,10,12), pois:

v = (7,12,15) - (1,2,3) = (6,10,12)

Existe uma definição mais ampla do conceito de vetor (não necessariamente geométrica) que envolve uma gama variada de objetos matemáticos como: matrizes, conjuntos, funções, soluções de equações diferenciais, etc.

Aplicações geométricas

Ponto Médio de um segmento: Dado um segmento de reta, cujas extremidades são também as extremidades dos vetores v1=(x1,y1,z1) e v2=(x2,y2,z2), o ponto médio deste segmento é dado por m=(x,y,z) onde

x = (x1+x2)/2; y = (y1+y2)/2; z = (z1+z2)/2

Centro de Gravidade de um triângulo: Consideremos os vértices de um triângulo, dados pelas extremidades dos vetores v1=(x1,y1,z1), v2=(x2,y2,z2) e v3=(x3,y3,z3). O centro de gravidade deste triângulo é dado pelo vetor g=(x,y,z) onde

x =(x1+x2+x3)/3; y =(y1+y2+y3)/3; z =(z1+z2+z3)/3