Calculo Diferencial E Integral

álculo diferencial e integral

4.1 Introdução

O conceito de limite e continuidade é um conceito importante na definição de derivada e integral. Neste capítulo trabalhamos com limite, continuidade, derivada e integral utilizando os comando do Mathematica. Abordamos também a derivada de ordem superior, derivada parcial, derivada das funções implícitas e integração múltipla.

4.2 Conceito de limite

Iniciamos este capítulo com o cálculo de limites. O comando utilizado em Mathematica para este cálculo é "Limit[expressão,x->x0]". Também utilizamos a opção "Direction", o que permite o cálculo de limites laterais, isto é, à direita e à esquerda. Veja os exemplos a seguir:

Exemplo 4.1

Calcular os seguinte limites:

a) , onde ;

b) ;

c) , onde f(x) é dada como em a).

Resolução

Utilizamos o comando "Limit" para resolver estes exemplos:

a) In[ ]:= f[x_]:=(- 5+3 x+4 x^2)/(10- 5 x+8 x^2)

Limit[f[x],x->5]

Out[ ]=

b) In[ ]:= Limit[(1+x)^(1/x),x->0]

Out[ ]= E

c) In[ ]:= Limit[f[x],x->Infinity]

Out[ ]=

Assim, concluímos que

= ;

= e;

=.

A seguir apresentamos exemplos de cálculo de limites à direita e à esquerda.

Exemplo 4.2

Calcular os seguintes limites à direita e à esquerda:

a) ;

b) .

Faça a visualização gráfica de cada uma destas funções.

Resolução

Para calcular os limites direcionados utilizamos a opção "Direction" juntamente com o comando "Limit":

a) In[ ]:= f[x_]:=(4- x^2)/(2- x)

In[ ]:= Limit[f[x],x->2,Direction-> -1]

Out[ ]= 4

In[ ]:= Limit[f[x],x->2,Direction->1]

Out[ ]= 4

Assim, concluímos que

;

isto é,

.

Veja a seguir, o gráfico da função dada:

In[ ]:= Plot[(4- x^2)/(2- x),{x,0,3}]

Out[ ]= -Graphics-

b) In[ ]:= Limit[1/x,x->0,Direction-> -1]

Out[ ]= Infinity

In[ ]:= Limit[1/x,x->0,Direction-> 1]

Out[ ]= -Infinity

Assim, concluímos que

e

isto é,

não existe.

A visualização gráfica desta função é obtida usando o comando "Plot".

In[ ]:= Plot[1/x,{x,- 1,1}]

Out[ ]= -Graphics-

Observamos no gráfico acima que o limite da função no ponto x = 0 não existe.

O exemplo a seguir nos leva a definir o conceito de derivada utilizando o aspecto de limite.

Exemplo 4.3

Calcular , onde

a) f1(x) = 4x3 2x2 - x 3;

b) f2(x) = .

Resolução

Utilizamos os seguintes comandos para calcular os limites desejados:

a) In[ ]:= Clear[f1]

f1[x_]:=4 x^3+2 x^2- x+3

In[ ]:= k1=Simplify[(f1[x+h]- f1[x])/h]

Out[ ]= -1+2 h + 4 h2 + 4 x + 12 h x + 12 x2

In[ ]:= Limit[k1,h->0]

Out[ ]= -1 + 4 x + 12 x2

b) In[ ]:= Clear[f2]

f2[x_]:=(x^2+1)/x

In[ ]:= k2=Simplify[(f2[x+h]-f2[x])/h]

Out[ ]=

In[ ]:= Limit[k2,h->0]

Out[ ]=

Assim, concluímos que

;

.

O exemplo acima nos leva a definir o conceito de derivada de uma função, o que veremos na próxima seção.

4.3 Cálculo diferencial

Seja uma função diferenciável f(x), isto é, que tem derivada, definida por

O Mathematica poderá computar sua derivada de pelo menos duas formas, desde que a função f(x) tenha sido definida de maneira adequada. Inicialmente calculamos a derivada usando a definição.

Seguem abaixo alguns comandos para se calcular derivadas:

O comando "f�[x]" computa a derivada de f(x) em relação a x.

O comando "D[f[x],x]" também computa a derivada de f(x) e relação a x.

O comando "D[f[x],{x,n}]" computa a n-ésima derivada de f(x) em relação a x.

O comando "D[expressão,variável]" computa a derivada da expressão em relação a variável.

Exemplo 4.4

Calcular a derivada da expressão 7x - 9x2 8x3.

Resolução

Para se calcular a derivada da expressão 7x - 9x2 + 8x3, podemos derivar diretamente ou podemos definir uma função f(x) = 7x - 9x2 + 8x3. Os comandos abaixo calculam a derivada da mesma função de três formas diferentes:

1a forma

In[ ]:= D[7 x- 9 x^2+8 x^3,x]

Out[ ]= 7 - 18 x + 24 x2

2a forma

In[ ]:= Clear[h]

h[x_]:=7 x- 9 x^2+8 x^3

In[ ]:= h'[x]

Out[ ]= 7 - 18 x + 24 x2

3a forma

In[ ]:= D[h[x],x]

Out[ ]= 7 - 18 x + 24 x2

Observe que tanto "h�[x]" quanto "D[h[x],x]" produziram o mesmo resultado.

Assim, concluímos que

(7x - 9x2 8x3)¢ = 7 - 18x 24x2.

Exemplo 4.5

Calcular a derivada das seguintes funções

a) f(x) = x2 sen x;

b) f(x) = ln(3x4 4);

c) f(x) = (5x 3)(2x3 - 3x 4)2.

Resolução

Resolvemos estes exemplos utilizando os comando "D" dado no exemplo acima.

a) In[ ]:= D[x^2 Sin[x],x]

Out[ ]= x2 Cos[x] + 2 x Sin[x]

b) In[ ]:= D[Log[3 x^4 + 4],x]

Out[ ]=

c) In[ ]:= D[(5 x+3)(2 x^3- 3 x+4),x]

Out[ ]= (3 + 5 x)(- 3 + 6 x2) + 5(4 - 3 x + 2 x3)

Assim, concluímos que

(x2 sen x)¢ = x2 cos(x) 2x sen(x);

(ln(3x4 4))¢ = ;

((5x 3)(2x3 - 3x 4)2)¢ = (3 5x)(- 3 6x2) 5(4 - 3x 2x3).

Exemplo 4.6

Calcular f¢ (x), f¢ ¢ (x) e f¢ ¢ ¢ (x) para as seguintes funções:

a) f(x) = x4 - 3x3 5x2 3x1;

b) f(x) = .

Resolução

Utilizamos os seguintes comandos para resolver estes exemplos:

a) In[ ]:= Clear[f]

f[x_]:= x^4- 3 x^3+5 x^2+3 x+1

In[ ]:= D[f[x],x]

Out[ ]= 3 + 10 x - 9 x2 + 4 x3

In[ ]:= D[f[x],{x,2}]

Out[ ]= 10 - 18 x + 12 x2

In[ ]:= D[f[x],{x,3}]

Out[ ]= -18 + 24 x

Assim, concluímos que

f¢ (x) = 3 10x - 9x2 4x3;

f¢ ¢ (x) = 10 - 18x 12x2;

f¢ ¢ ¢ (x) = - 18 24x.

b) In[ ]:= Clear[f]

f[x_]:=(Sin[4 x])/x

In[ ]:= D[f[x],x]

Out[ ]=

In[ ]:= D[f[x],{x,2}]

Out[ ]=

In[ ]:= D[f[x],{x,3}]

Out[ ]=

Assim, concluímos que

f¢ (x) = ;

f¢ ¢ (x) = ;

f¢ ¢ ¢ (x) = .

4.3.1 Derivadas da função implícita

Utilizando os comandos do Mathematica podemos calcular a derivada da função implícita f(x,y) = 0. Os principais comandos são os seguintes:

O comando "Dt[equação,x]" computa a diferencial em relação a variável x.

A expressão encontrada durante a computação representa a derivada de y em relação a x, isto é, "Dt[expressão,variável]" computa a derivada total.

"Dt[expressão]" computa a diferencial total "d(expressão)".

Veja os exemplos a seguir, sobre os cálculos de derivadas das funções implícitas. A expressão "Dt[y,x]", encontrada durante a computação, representa a derivada de y em relação a x, isto é, Dt[y,x] = . Utilizamos o comando "Solve" para encontrar os resultados desejados.

Exemplo 4.7

Calcular para as funções implícitas dadas a seguir:

a) x2 y2 = 4;

b) .

Resolução

Resolvemos estes exemplos utilizando os seguintes comandos:

a) In[ ]:= Dt[x^2+y^2==4,x]

Out[ ]= 2 x + 2 y Dt[y, x] == 0

In[ ]:= Solve[Dt[x^2+y^2==4,x],Dt[y,x]]

Out[ ]= {{Dt[y, x] -> - ()}}

b) In[ ]:= Solve[Dt[Exp[- (x^2+y^2)]==Log[x],x],Dt[y,x]]

Out[ ]= {{Dt[y, x] -> }}

Os mesmos resultados acima, podem ser obtidos utilizando o comando "D" do Mathematica se declararmos que y é uma função de x, isto é, se escrevemos y=y[x]. Veja os cálculos abaixo:

a) In[ ]:= D[x^2+y[x]^2==4,x]

Out[ ]= 2 x + 2 y[x] y'[x] == 0

In[ ]:= Solve[D[x^2+y[x]^2==4,x],y'[x]]

Out[ ]= {{y'[x] -> - ()}}

b) In[ ]:= Solve[D[Exp[- (x^2+y[x]^2)]==Exp[- x],x],y'[x]]

Out[ ]= {{y'[x] -> }}

Assim, concluímos que

, onde x2 y2 = 4;

, onde .

4.3.2 Derivada parcial

Derivadas parciais são calculadas utilizando o mesmo comando que foi utilizado para calcular a derivada, isto é, "D" ou "Derivative". Seja f(x,y) uma função diferenciável em relação às variáveis x e y. Utilizamos os seguintes comandos para os cálculos das derivadas parciais.

O comando "D[f(x,y),variável]" computa a derivada parcial de f(x,y) em relação a variável x ou y.

O comando "D[f(x,y),{variável,n}]" calcula a n-ésima derivada parcial de f(x,y).

O comando "D[f(x,y),x,y]" calcula a derivada parcial de f(x,y) primeiro em relação a y e depois em relação a x. O comando "D[f(x,y),y,x]" calcula a derivada parcial de f(x,y) primeiro em relação a x e depois em relação a y.

O comando "Derivative" também pode ser usado para calcular a derivada parcial da função.

O comando "Derivative[1,0][f][a,b]" calcula a derivada parcial de f em relação a x e apresenta o resultado trocando x por a, e y por b.

O comando "Derivative[0,1][f][a,b]" calcula a derivada parcial de f em relação a y e apresenta o resultado trocando x por a, e y por b.

O comando "Derivative[n,m][f][a,b]" calcula a n-ésima derivada parcial da f em relação a x e depois a m-ésima derivada parcial de f em relação a y e apresenta o resultado trocando x por a, e y por b.

Veja alguns exemplos a seguir:

Exemplo 4.8

Calcular as derivadas parciais da função f(x,y) = ln(3x3y)sen(x3y3) em relação a x e y.

Resolução

Utilizamos o comando "D" para calcular a derivada parcial. Podemos também derivar expressões que possuem variáveis independentes entre si. Assim sendo, assumimos que em "D[Log[3x3+y]+Sin[x+3y3],x]", y é independente de x, isto é, a derivada parcial de f(x,y) em relação a x é obtida utilizando o seguinte comando:

In[ ]:= D[Log[3 x^3+y]+Sin[x+3 y^3],x]

Out[ ]=

Analogamente, a derivada da f(x,y) em relação a y é obtida por

In[ ]:= D[Log[3 x^3+y]+Sin[x+3 y^3],y]

Out[ ]=

Observe que se y for dependente de x, podemos utilizar a forma funcional explícita y[x] e damos o seguinte comando:

In[ ]:= D[Log[3 x^3+y[x]]+Sin[x+3 y[x]^3],x]

Out[ ]=

Assim, concluímos que

;

.

Exemplo 4.9

Seja f(x,y) = (x3 y3)3/5. Calcular

a) ;

b) ;

Resolução

Utilizamos os seguintes comandos:

In[ ]:= Clear[f]

f[x,y]:=(x^3+y^3)^(3/5)

a) In[ ]:= D[f[x,y],x]

Out[ ]=

In[ ]:= D[f[x,y],y]

Out[ ]=

In[ ]:= D[f[x,y],y,x]

Out[ ]=

Assim, concluímos que

;

;

.

b) In[ ]:= Clear[f]

f[x,y]:=(x^3+y^3)^(3/5)

In[ ]:= D[f[x,y],{x,2}]

Out[ ]=

In[ ]:= Together[%]

Out[ ]=

In[ ]:= Together[D[f[x,y],{y,2}]]

Out[ ]=

Assim, concluímos que

= ;

= .

Exemplo 4.10

Seja f(x,y) = log(x2y2) cos(xy). Calcular as seguintes derivadas parciais:

a) , , e ;

b) e ;

c) e .

Resolução

Utilizamos o comando "Derivative" para calcular as derivadas parciais desejadas. Em alguns casos achamos o mesmo resultado aplicando o comando "D". Inicialmente, definimos a função f(x,y).

In[ ]:= Clear[f]

f[x_,y_]:= Log[x^2+y^2] Cos[x+y]

a) In[ ]:= Derivative[1,0][f][x,y]

Out[ ]=

ou

In[ ]:= D[f[x,y],x]

Out[ ]=

In[ ]:= Derivative[0,1][f][x,y]

Out[ ]=

ou

In[ ]:= D[f[x,y],y]

Out[ ]=

In[ ]:= Derivative[1,1][f][x,y]

Out[ ]=

ou

In[ ]:= D[f[x,y],x,y]

Out[ ]= -

In[ ]:= Derivative[1,1][f][y,x]

Out[ ]=

ou

In[ ]:= D[f[x,y],y,x]

Out[ ]= -

Assim, concluímos que

;

;

;

.

b) In[ ]:= Derivative[2,0][f][x,y]

Out[ ]=

In[ ]:= [Derivative[0,2][f][x,y]]

Out[ ]=

Assim, concluímos que

;

.

c) In[ ]:= Derivative[2,1][f][Pi,Pi/2]

Out[ ]=

In[ ]:= N[%]

Out[ ]= -2.86925

In[ ]:= Derivative[1,2][f][Pi,Pi/2]

Out[ ]=

In[ ]:= N[%]

Out[ ]= - 2.67472

Assim, concluímos que

= - 2.86925;

= - 2.67472.

4.4 Cálculo integral

Iniciamos esta seção com a computação de integrais definidas e indefinidas. Apresentamos também exemplos de cálculo de integrais duplas e triplas. Vamos ver os comandos que serão utilizados para estes cálculos:

O comando "Integrate[f[x],x]" calcula a integral indefinida .

O comando "Integrate[f[x],{x,x1,x2}]" calcula a integral definida .

O comando "Integrate[f[x,y],{x,x1,x2},{y,y1,y2}]" calcula a integral dupla definida .

O comando "Integrate[f[x,y,z],{x,x1,x2},{y,y1,y2}],{z,z1,z2}]" calcula a integral tripla definida .

Quando "Integrate" não consegue produzir o resultado exato da expressão numa forma adequada, usamos "NIntegrate"; ou, simplesmente, utilizamos "N[%]" para achar o valor exato da expressão anterior. "NIntegrate" também é usado nos cálculos das integrais, onde "Integrate" não consegue calcular o valor da integral.

Exemplo 4.11

Calcular as seguintes integrais:

a) ;

b) .

Resolução

Utilizamos os seguintes comandos para resolver as integrais:

a) In[ ]:= Integrate[x^3+5 x^2+3 x- 5,x]

Out[ ]=

b) In[ ]:= Integrate[Log[x]/x^2,x]

Out[ ]=

Assim, concluímos que

= ;

= .

Exemplo 4.12

Calcular as seguintes integrais definidas:

a) ;

b) ;

c) .

Resolução

As integrais são resolvidas usando os seguintes comandos:

a) In[ ]:= Integrate[Cos[x],{x,0,Pi}]

Out[ ]= 0

b) In[ ]:= Integrate[(Sqrt[x^2+4])/x^3,{x,1,3}]

Out[ ]=

In[ ]:= N[%]

Out[ ]= 1.12235

c) In[ ]:= Clear[f]

f[x_]:=(2+3 x+5 x^2)/((1+x^2)(4+9 x^2))

NIntegrate[f[x],{x,0,2}]

Out[ ]= 0.788964

Resolvemos a mesma integral utilizando o processo de frações parciais:

In[ ]:= Apart[f[x]]

Out[ ]=

In[ ]:= Integrate[%,{x,0,2}]

Out[ ]=

O valor numérico da integral calculada acima é obtido utilizando o comando "N[%]"

In[ ]:= N[%]

Out[ ]= 0.788964

Assim, concluímos que

= 0;

= 1,12235;

= 0,788964.

Exemplo 4.13

Calcular as seguintes integrais duplas:

a) ;

b) ;

c) .

Resolução

Para resolver integrais duplas sabemos que

.

Partindo desta observação, calculamos as integrais usando os seguintes comandos:

a) In[ ]:= Integrate[y Cos[x]- x Cos[y],{x,0,Pi/2},y,0,Pi}]

Out[ ]= .

In[ ]:= N[%]

Out[ ]= 4.9348

b) In[ ]:= Integrate[x^2 y,{y,0,3},{x,1- 2 y,y^2}]

Out[ ]=

c) In[ ]:= NIntegrate[Cos[Exp[x y]],{x,0,1},{y,0,1}]

Out[ ]= 0.245001

Assim, concluímos que

=;

=;

= 0,245001.

Exemplo 4.14

Calcular as seguintes integrais triplas:

a) ;

b) ;

Resolução

Para resolver integrais duplas sabemos que

.

Partindo desta observação, calculamos as integrais triplas usando os seguintes comandos:

a) In[ ]:= Integrate[x y z,{x,1,2},{y,0,1},{z,1,3}]

Out[ ]= 3

b) In[ ]:= Integrate[y Exp[z],{y,1,2},{x,0,y^2}, {z,0,Log[x]}]

Out[ ]=

Assim, concluímos que

= 3;

= .

Observação

No cálculo de integrais duplas e triplas deve-se cuidar na colocação dos limites das integrais nos comandos, isto é, quando uma variável está dependendo de outra, primeiro deve-se colocar os limites independentes e depois as variáveis dependentes. Veja a seguir os comandos:

= Integrate[f(x,y,z),{x,a,b},{y,y(x1),y(x2)}, {z,z(y1),z(y2)}]

= Integrate[f(x,y),{x,a,b},{y,y(x1),y(x2)}]