Calculo III

CÁLCULO III

2007

INSTRUCIONAIS DE MATEMÁTICA

Coordenadora do Curso de Graduação

Sônia Albuquerque - Matemática

Conteudista

Sônia Albuquerque

SUMÁRIO

UNIDADE I

PRIMITIVA

1.1 – Introdução

1.2 – Definição

UNIDADE II

INTEGRAL INDEFINIDA

2.1 - DEFINIÇÃO

2.2 – MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO

UNIDADE III

CÁLCULO DE ÁREAS

3.1 –CÁLCULO DE ÁREA UTILIZANDO OS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO

UNIDADE IV

CÁLCULO DE VOLUMES

4.1 – CÁLCULO DE VOLUMES UTILIZANDO OS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO

Glossário

Referências bibliográficas

 QUADRO SÍNTESE DO CONTEÚDO PROGRAMÁTICO

Unidade de Programa Objetivos

I. PRIMITIVA

1.1.INTRODUÇÃO

1.2.DEFINIÇÃO -Identificar uma função primitiva.

II. INTEGRAL INDEFINIDA

2.1.DEFINIÇÃO

2.2 MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO -Resolver uma integral indefinida utilizando os diversos métodos de integração

III. Cálculo de AREA

3.1.CÁLCULO DE ÁREAS UTILIZANDO OS DIVERSOS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO. -Resolver problemas de área de uma superfície utilizando uma integral definida

IV. CÁLCULO DE VOLUMES

4.1.CÁLCULÇO DE VOLUMES UTILIZANDO OS DIVERSOS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO -Resolver problemas de volume aplicando o conceito de integral definida

 CONTEXTUALIZAÇÃO DA DISCIPLINA:

Ao elaborarmos este instrucional, procuramos apresentar a teoria de modo resumido evitando as receitas prontas e o formalismo excessivo, porém acreditamos ter conseguido um bom desenvolvimento lógico das unidades, mantendo um certo rigor coerente com o nível para o qual o material é proposto. O objetivo é fazer com que você compreenda as idéias básicas da disciplina de Cálculo I e II e, quando necessário, saiba transferir as estruturas adquiridas às outras áreas de conhecimento.

Esperamos que este material seja útil no desenvolvimento de seus trabalhos e no seu aprendizado.

GLOSSÁRIO: INTEGRAL, INTEGRAL INDEFINIDA, INTEGRAL DEFINIDA, CÁLCULO DE ÁREAS E VOLUME

Objetivo:

- Desenvolver no aluno o raciocínio e criatividade para solucionar problemas que envolvam o cálculo com integrais. Mostrar as diversas aplicações da integral nas ciências físicas

Bibliografia

GUIDORIZZI, Hamilton Luis. Um Curso de Cálculo. Vol. 1. LTC, 1995.

LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica. Vol. 1. McGraw-Hill, 1993.

MUNEN, Mustafá A. E FOULIS, J. D. Cálculo. Vol. 1. Guanabara, 1982.

SWOKOWSKI, Earl Willian. Cálculo com Geometria Analítica. Vol. 1. McGraw-Hill, 1993

PRIMITIVA OU ANTIDERIVADA

Definição

“Uma função derivável F(x) denomina-se primitiva (ou antiderivada) de uma outra função f(x) em I (I  Cf)  ( x  I) : F’(x) = f(x).”

Observação:

Diremos simplesmente que f(x) é uma primitiva (ou antiderivada) de f(x), quando I = Cr.

Exemplos:

1. F(x) = 2 / 3 . x3 – x2 / 2 + 1 é uma primitiva de f(x) = 2 x2 – x;

2. f(X) = x arc senx +  1 - x2 e F1(x) = x arc sen x +  1 - x2 - 10 são antiderivadas de f(x) = arc sem x;

3. F(x) = 1 / x (x2 + x – 1 ) é uma primitiva de f(x) = 1 + 1 / x2 .

Proposição:

“Sejam f(x) e g(x) funções deriváveis num intervalo (ou extensão de intervalo) I. Uma condição necessária é suficiente para que f(x) e g(x) tenham derivadas iguais em I é que a função diferença f(x) – g(x) seja constante em I”.

Demonstração:



Consideremos a função  : I  R definida por (x) = f(x) – g(x). Das hipóteses do teorema segue que (x) é derivável. Assim, aplicando a Fórmula dos Acréscimos Finitos para a função (x) relativamente a dois pontos u e x distintos de I, vem (    R ) ( = x + (u – x) , 0 <  < 1 ) :  (u) - (x) = (u – x)  (). Como a derivada de  (x) se anula em I, tem-se:  () = 0   (u) = (x). Sendo u e x arbitrários, (x) é constante em I, ou seja, ( k  R) : f(x) – g(x) = k.



Suponhamos que a função diferença f(x) – f(x), isto é, a função  (x) seja constante em I. Como a derivada de  (x) é nula em I e ’(x) = f’(x) – g’(x) em I, segue imediatamente que f’(x) = g’(x) em I.

Corolário:

“Se f(x) possui uma antiderivada num intervalo I(*), então ela possui uma infinidade de antiderivadas em I cujas diferenças, duas a duas, são constantes em I.”

Demonstração:

Seja F(x) uma antiderivada de f(x) em I e k uma constante real arbitrária. Como a função F(x) + k é derivável em I e sua derivada é f(x), F(x) + k para cada constante