Conjuntos

5) (PUC) Um levantamento sócio-econômico entre os habitantes de uma cidade revelou que, exatamente: 17% têm casa própria; 22% têm automóvel; 8% têm casa própria e automóvel. Qual o percentual dos que não têm casa própria nem automóvel?

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Solução: Com base nos dados, fazemos um diagrama de Venn-Euler, colocando a quantidade de elementos dos conjuntos, começando sempre pelo número de elementos da interseção n(CA) = 8%.

Como a soma das parcelas percentuais resulta em 100%, então 9% + 8% + 14% + x = 100 %. Daí, vem que 31% + x = 100%. Logo, o percentual dos que não têm casa própria nem automóvel é x = 100% - 31% = 69%.

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Uma editora estuda a possibilidade de lançar novamente as publicações Helena, Senhora e A Moreninha. Para isto, efetuou uma pesquisa de mercado e concluiu que em cada 1000 pessoas consultadas: 600 leram A Moreninha; 400 leram Helena; 300 leram Senhora; 200 leram A Moreninha e Helena; 150 leram A Moreninha e Senhora; 100 leram Senhora e Helena; 20 leram as três obras; Calcule:

a) O número de pessoas que leu apenas uma das obras.

b) O número de pessoas que não leu nenhuma das três obras.

c) O número de pessoas que leu duas ou mais obras.

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Solução: Começamos sempre colocando o número de elementos da intersecção. Ao colocar o número de elementos de um conjunto, não podemos esquecer de descontar os da intersecção

200 - 20 = 180 ;

150 - 20 = 130 ;

100 - 20 = 80 ;

600 - 180 - 20 - 130 = 270 ;

400 - 180 - 20 - 80 = 120 ;

300 - 130 - 20 - 80 = 70.

270 + 180 + 120 + 130 + 20 + 80 + 70 = 870

Assim:

a) O número de pessoas que leu apenas uma das obras é 270 + 120 + 70 = 460 :

b) O número de pessoas que não leu nenhuma das três obras é x = 1000 - 870 = 130 ;

c) O número de pessoas que leu duas ou mais obras é 180 + 20 + 130 + 80 = 410

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6) Dez mil aparelhos de TV foram examinados depois de um ano de uso e constatou-se que 4.000 deles apresentavam problemas de imagem, 2.800 tinham problemas de som e 3.500 não apresentavam nenhum dos tipos de problema citados. Então o número de aparelhos que apresentavam somente problemas de imagem é:

a) 4 000 b) 3 700 c) 3 500 d) 2 800 e) 2 500

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Solução: Resposta na altermativa b). Observe o diagrama construído com base no enunciado, onde I é o conjunto dos que apresentavam defeito na imagem, S o conjunto dos que apresentavam problemas de som e N o conjunto daqueles que não apresentavam nenhum defeito citado.

Temos que 4000 - x + x + 2800 - x + 3500 = 10000, onde x é o números de televisores que apresentavam, ao mesmo tempo, os dois problemas citados. Segue que x = 10300 - 10000 = 300. Então o número de aparelhos que apresentavam somente problemas de imagem é 4000 - x = 4000 - 300 = 3700.

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Numa pesquisa sobre as emissoras de tevê a que habitualmente assistem, foram consultadas 450 pessoas, com o seguinte resultado: 230 preferem o canal A; 250 o canal B; e 50 preferem outros canais diferente de A e B. Pergunta-se:

a) Quantas pessoas assistem aos canais A e B?

b) Quantas pessoas assistem ao canal A e não assistem ao canal B?

c) Quantas pessoas assistem ao canal B e não assistem ao canal A?

d) Quantas pessoas não assitem ao canal A?

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Solução: Seja o diagrama a seguir:

Temos que 230 - x + x + 250 - x + 50 = 450.

a) O número de pessoas que assistem aos canais A e B é x = 530 - 450 = 80

b) O número de pessoas que assistem ao canal A e não assistem ao canal B é 230 - x = 150.

c) O número de pessoas que assistem ao canal B e não assistem ao canal A é 250 - x = 170.

d) O número de pessoas que não assitem ao canal A é 250 - x + 50 = 250 - 80 + 50 = 220.

4) (PUC) Em uma empresa, 60% dos funcionários lêem a revista A, 80% lêem a revista B, e todo funcionário é leitor de pelo menos uma dessas revistas. O percentual de funcionários que lêem as duas revistas é ....

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Solução: Seja x o valor procurado. Desenhando um diagrama de Venn-Euler e utilizando-se do fato de que a soma das parcelas percentuais resulta em 100%, temos a equação: 60 - x + x + 80 - x = 100. Daí, vem que, 60 + 80 - x = 100.

Logo, x = 140 - 100 = 40. Assim, o percentual procurado é 40%.

3) Em uma prova de Matemática com apenas duas questões, 300 alunos acertaram somente uma das questões e 260 acertaram a segunda. Sendo que 100 alunos acertaram as duas e 210 alunos erraram a primeira questão. Quantos alunos fizeram a prova?

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Solução: Temos que 100 acertaram as duas questões. Se 260 acertaram a segunda, então, 260