Cálculo SDFA III

Facnet – Faculdade de Negocios e Tecnologia

ATPS Calculo III

Apresentação

Passo 1 (Equipe)

Façam as atividades apresentadas a seguir.

1. Leiam atentamente o capítulo do livro-texto que descreve os conceitos de integrais indefinidas, definidas e cálculo de áreas. Pesquisem também em: livros didáticos, na internet e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização da teoria de integrais indefinidas, definidas e cálculo de áreas.

2. Façam um levantamento sobre a história do surgimento das integrais e elaborem um texto dissertativo, contendo as principais informações encontradas com a pesquisa realizada no passo 1. Essa pesquisa será imprescindível para a compreensão e realização dos próximos passos.

INTEGRAIS DEFINIDAS

Seja uma função f(x) definida e contínua num intervalo real [a, b]. A integral definida de f(x), de a até b, é um número real, e é indicada pelo símbolo:

onde:

• a é o limite inferior de integração;

• b é o limite superior de integração;

• f(x) é o integrando.

Se representa a área entre o eixo x e a curva f(x), para

Se representa a área entre as curvas, para

Integrais indefinidas

Da mesma forma que a adição e a subtração, a multiplicação e a divisão, a operação inversa da derivação é a antiderivação ou integração indefinida.

Dada uma função g(x), qualquer função f'(x) tal que f'(x) = g(x) é chamada integral indefinida ou antiderivada de f(x).

Exemplos:

1. Se f(x) = , então é a derivada de f(x). Uma das antiderivadas de f'(x) = g(x) = x4 é .

2. Se f(x) = x3, então f'(x) = 3x2 = g(x). Uma das antiderivadas ou integrais indefinidas de g(x) = 3x2 é f(x) = x3.

3. Se f(x) = x3 + 4, então f'(x) = 3x2 = g(x). Uma das antiderivadas ou integrais indefinidas de g(x) = 3x2 é f(x) = x3 + 4.

Nos exemplos 2 e 3 podemos observar que tanto x3 quando x3+4 são integrais indefinidas para 3x2. A diferença entre quaisquer destas funções (chamadas funções primitivas) é sempre uma constante, ou seja, a integral indefinida de 3x2 é x3+C, onde C é uma constante real.

Propriedades das integrais indefinidas

São imediatas as seguintes propriedades:

1ª. , ou seja, a integral da soma ou diferença é a soma ou diferença das integrais.

2ª. , ou seja, a constante multiplicativa pode ser retirada do integrando.

3ª. , ou seja, a derivada da integral de uma função é a própria função.

Integração por substituição

Seja expressão .

Através da substituição u=f(x) por u' = f'(x) ou , ou ainda, du = f'(x) dx, vem:

,

admitindo que se conhece .

O método da substituição de variável exige a identificação de u e u' ou u e du na integral dada.

O Cálculo Integral: alguns fatos históricos

Os primeiros problemas que apareceram na História relacionados com as integrais são os problemas de quadratura. Um dos problemas mais antigos enfrentados pelos gregos foi o da medição de superfícies a fim de encontrar suas áreas. Quando os antigos geômetras começaram a estudar as áreas de figuras planas, eles as relacionavam com a área do quadrado, por ser essa a figura plana mais simples. Assim, buscavam encontrar um quadrado que tivesse área igual à da figura em questão.

A palavra quadratura é um termo antigo que se tornou sinônimo do processo de determinar áreas. Quadraturas que fascinavam os geômetras eram as de figuras curvilíneas, como o círculo, ou figuras limitadas por arcos de outras curvas. As lúnulas - regiões que se assemelham com a lua no seu quarto-crescente - foram estudadas por Hipócrates de Chios, 440 a.C., que realizou as primeiras quadraturas da História. Antifon, por volta de 430 a.C., procurou encontrar a quadratura do círculo através de uma seqüência infinita de polígonos regulares inscritos: primeiro um quadrado, depois um octógono, em seguida um hexadecágono, e assim por diante. Havia, entretanto, um problema: essa seqüência nunca poderia ser concluída. Apesar disso, essa foi uma idéia genial que deu origem ao método da exaustão.

Nesse contexto, uma das questões mais importantes, e que se constituiu numa das maiores contribuições gregas para o Cálculo, surgiu por volta do ano 225 a.C. Trata-se de um teorema de O Cálculo Integral: alguns fatos históricos

Os primeiros problemas que apareceram na História relacionados com as integrais são os problemas de quadratura. Um dos problemas mais antigos enfrentados pelos gregos foi o da medição de superfícies a fim de encontrar suas áreas. Quando os antigos geômetras começaram a estudar as áreas de figuras planas, eles as relacionavam com a área do quadrado, por ser essa a figura plana mais simples. Assim, buscavam encontrar um quadrado que tivesse área igual à da figura em questão.

Nesse contexto, uma das questões mais importantes, e que se constituiu numa das maiores contribuições gregas para o Cálculo, surgiu por volta