Demonstracao Da Derivada Da Funçao Logaritma

Demonstração da Derivada da Função Logarítmica

Seja a Função Logarítmica do logaritmo natural:

f (x) = ln (x)

Utilizando o conceito de derivada, temos:

Utilizando uma das propriedades dos logaritmos, que uma diferença de logaritmo é igual a o logaritmo de um quociente, temos:

Utilizando, agora, a propriedade dos expoentes dos logaritmos, fazemos:

Se aplicarmos uma mudança de variável, onde:

Observamos que, quando , , então essa troca é equivalente e não altera o limite. Então:

No entanto, no limite fundamental exponencial (veja demonstração aqui), sabemos que o limite:

Logo:

Mas, ln e = 1, portanto:

Então, se:

Que é a derivada da função logarítmica. Como queríamos demonstrar.

Obs.: Se tivermos:

Demonstração da Derivada da Função Exponencial

Esta demonstração está dividida em duas partes, para melhor esclarecimento:

a) Para iniciar esta demonstração, vamos primeiramente provar o limite abaixo:

Por Hipótese:

Para , fazemos uma mudança de variável:

Se x tende a zero, então t tende a zero também, pois:

Fazemos então:

Assim podemos escrever:

Então, tomando o limite inicial:

Aplicamos a mudança da variável x para t:

Pela demonstração do limite fundamental exponencial, o limite abaixo tende ae:

Então, aplicando o limite, obtemos:

Como queríamos demonstrar, comprovando a afirmação inicial.

b) Utilizando o conceito de derivada, temos:

Para uma função exponencial do tipo:

Fazemos as devidas substituições:

Provamos em a) que o limite:

Aplicando o limite acima, podemos reescrever ( I ) como:

Portanto, podemos dizer que, se:

Mas, se a = e, temos:

Demonstração da Derivada da Função Seno

Esta demonstração está dividida em duas partes, para melhor esclarecimento:

1) Inicialmente, vamos relembrar alguns conceitos:

a) Uma das fórmulas de Prostaférese, onde se transforma diferença de senos em produto:

b) O Limite Fundamental:

c)