Derivada Etapas 3 E 4

ETAPA 3

Aplicações da Derivada.

Esta atividade é importante para que você saiba utilizar técnicas de cálculo, que se aplicam a uma grande variedade de problemas da vida real. Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.

Passo 1

Faça a leitura do capítulo 4 – seção 4.1 do PLT, pesquise e elabore um texto explicativo sobre máximos locais, mínimos locais e pontos de inflexão de uma determinada função.

Máximos Locais, Mínimos Locais e Pontos de Inflexão

O Máximo Local de uma função f é um valor que é maior ou igual aos valores que estão próximos aele, dentro de um intervalo.

OMínimo Localde uma função fé um valor que é inferior ou igualaos valores que estão próximos a ele, dentro de um intervalo.

O Ponto Crítico é o valor – ou valores encontrados -quando derivamos a função e a igualamos a zero: f’(x)=0.

Ponto de Inflexão é o ponto no qual o gráfico de uma função f(x)muda sua concavidade.

Para descobrirmos se os valores dos Pontos Críticos são Máximos ou Mínimos devemos derivar pela 2ºvez. Se o valor for Negativo, temos um Ponto Máximo, se Positivo, temos um ponto Mínimo.

Passo 2

Analise a função f(x)=2x³ – 18x² + 30x + 40 , cujo domínio é o conjunto de todos os reais, utilizando a primeira derivada para determinar o(s) ponto(s) crítico(s), se existir(em), indicando onde a função f é crescente ou decrescente e o(s) ponto(s) de máximo(s) ou mínimo(s) local(is) e a segunda derivada para determinar o(s) ponto(s) de inflexão, se existir(em), e o estudo da concavidade em relação a esse ponto.

Temos:

f'(x) = 6x²-36x+30 = 0 ⇔ x²-6x+5 = 0

x1 = 1 / x2 = 5

f''(x)= 12x-36 ⇔

f''(1) = -24

f''(5) = 24

f''(x) = 12x-36 = 0⇔x = 3

Á partir dos resultados obtidos, concluímos que:

• x = 1 é ponto de máximo;

• x = 5 é ponto de mínimo;

• x = 3 é ponto de inflexão;

• f é decrescente em {1,5} e crescente em {-∞,1[ U ]5,+∞};

• f tem concavidade positiva em {3,+∞} concavidade negativa em {-∞,3}.

ETAPA 4

Essa etapa é importante para que o aluno compreenda que uma das mais importantes aplicações do conceito da derivada está nos problemas de otimização e modelagem, nos quais uma quantidade deve ser maximizada ou minimizada. Problemas esses que são presentes em várias áreas da vida. Para realizá-la, é importante seguir os passos descritos.

Passo 1

• Deseja-se construir pequenas caixas de papelão, com tampa, para embalagens. A base da caixa é um retângulo