EDUCAÇÃO MATEMÁTICA «TEORIA DOS KITS»

ENSINO MÉDIOTRABALHO DE MATEMÁTICA“TEORIA DOS CONJUNTOS” Por Wanderson Joner Silva Cruz Brasilia Maio de 2012 1

TRABALHO DE MATEMÁTICA“TEORIA DOS CONJUNTOS” Trabalho apresentado à d i s c i p l i n a : M a t e m á t i c a , do Prof. Por: Wanderson Joner Silva Cruz Série: Ensino Médio Nota:_____ Assinatura do Professor (a): ________________________________ Brasilia Maio de 2012 2

SUMÁRIO1 - INTRODUÇÃO ................................................................................. 042 – DESENVOLVIMENTO ............................................................ 05 à 16 2.1 - Noções.................................................................................. 05 à 11 2.2 – Representações.................................................................... 11 à 15 2.3 - Relação de pertinência...................................................................15 2.4 - Relação de inclusão........................................................................16 2.5 - Relação de igualdade.....................................................................163 – CONCLUSÃO ................................................................... .................174 – BIBLIOGRAFIA .................................................................................185 – ANEXOS ..............................................................................................19 3

1 - INTRODUÇÃO Temas matemáticos geralmente surgem e evoluem através de interaçõesentre muitos pesquisadores. Teoria dos conjuntos, no entanto, foi fundada por um únicoartigo em 1874 por Georg Cantor: "A respeito de uma propriedade característica detodos os números algébricos reais". Teoria dos conjuntos é o ramo da matemática que estuda conjuntos, quesão coleções de elementos. Embora qualquer tipo de elemento possa ser reunido em umconjunto, a teoria dos conjuntos é aplicada na maioria das vezes a elementos que sãorelevantes para a matemática. A linguagem da teoria dos conjuntos pode ser usada nasdefinições de quase todos os elementos matemáticos. O estudo moderno da teoria dos conjuntos foi iniciado por Georg Cantore Richard Dedekind em 1870. Após a descoberta de paradoxos na teoria ingênua dosconjuntos, numerosos sistemas de axiomas foram propostos no início do século XX, dosquais os axiomas de Zermelo-Fraenkel, com o axioma da escolha, são os maisconhecidos. Conceitos de teoria dos conjuntos são integrados em todo currículo dematemática nos Estados Unidos. Fatos elementares sobre conjuntos e associação deconjuntos são frequentemente ensinados na escola primária, junto com diagramas deVenn, diagramas de Euler, e as operações elementares, tais como união e interseção deconjunto. Conceitos ligeiramente mais avançados, tais como cardinalidade são umaparte padrão do currículo de matemática de graduação. A teoria dos conjuntos é comumente empregada como um sistemaprecursor da matemática, particularmente na forma de teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel com o axioma da escolha. Além de seu papel fundamental, a teoria dosconjuntos é um ramo da matemática em si própria, com uma comunidade de pesquisaativa. Pesquisas contemporâneas em teoria dos conjuntos incluem uma diversa coleçãode temas, variando da estrutura do número real ao estudo da consistência de grandescardinais. A lógica de classes, que pode ser considerada um pequeno fragmento dateoria dos conjuntos com importância histórica é isomorfa à lógica proposicionalclássica e à álgebra booleana, e como tal, os teoremas de uma das teorias possuemanálogos nas outras duas. 4

2 – DESENVOLVIMENTO 2.1 - NOÇÕESNOÇÕES DE CONJUNTO A teoria avançada dos conjuntos foi desenvolvida por volta do ano 1872pelo matemático alemão Georg Cantor (1845 / 1918) e aperfeiçoada no início do séculoXX por outros matemáticos, entre eles, Ernst Zermelo (alemão - 1871/1956), AdolfFraenkel (alemão - 1891/ 1965), Kurt Gödel (austríaco - 1906 /1978), Janos vonNewman (húngaro - 1903 /1957), entre outros. O que se estuda deste assunto ao nível do segundo grau e exigido emalguns vestibulares, é tão somente uma introdução elementar à teoria dos conjuntos,base para o desenvolvimento de temas futuros, a exemplo de relações, funções, análisecombinatória, probabilidades, etc Conjunto: conceito primitivo; não necessita, portanto, de definição.Exemplo: conjunto dos números pares positivos: P = {2,4,6,8,10,12, ... }. Esta forma de representar um conjunto, pela enumeração dos seuselementos, chama-se forma de listagem. O mesmo conjunto também poderia serrepresentado por uma propriedade dos seus elementos ou seja, sendo x um elementoqualquer do conjunto P acima, poderíamos escrever:P = { x | x é par e positivo } = { 2,4,6, ... }.Relação de pertinência: Sendo x um elemento do conjunto A , escrevemos x Î A,onde o símbolo Î significa "pertence a". Sendo y um elemento que não pertence ao conjunto A , indicamos essefato com a notação y Ï A. O conjunto que não possui elementos , é denominado conjunto vazio erepresentado pela letra grega fi: f . Com o mesmo raciocínio, e opostamente ao conjunto vazio, define-se oconjunto ao qual pertencem todos os elementos, denominado conjunto universo,representado pelo símbolo U. 5

Assim é que, pode-se escrever como exemplos:Æ = { x; x ¹ x} e U = {x; x = x}.Subconjunto Se todo elemento de um conjunto A também pertence a um conjunto B,então dizemos que A é subconjunto de B e indicamos isto por A Ì B.Notas: a) todo conjunto é subconjunto de si próprio. ( A Ì A ) b) o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. (Æ Ì A) c) se um conjunto A possui m elementos então ele possui 2m subconjuntos. d) o conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é denominado conjunto das partes de A e é indicado por P(A). Assim, se A = {c, d} , o conjunto das partes de A é dado por P(A) = {f , {c}, {d}, {c,d}} e) um subconjunto de A é também denominado parte de A.Conjuntos numéricos fundamentais Entendemos por conjunto numérico, qualquer conjunto cujos elementossão números. Existem infinitos conjuntos numéricos, entre os quais, os chamadosconjuntos numéricos fundamentais, a saber:Conjunto dos números naturaisN = {0,1,2,3,4,5,6,... }Conjunto dos números inteirosZ = {..., -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,... }Nota: é evidente que N Ì Z.Conjunto dos números racionaisQ = {x | x = p/q com p Î Z , q Î Z e q ¹ 0 }. (o símbolo | lê-se como "tal que"). Temos então que número racional é aquele que pode ser escrito na formade uma fração p/q onde p e q são números inteiros, com o denominador diferente dezero. Lembre-se que não existe divisão por zero!. São exemplos de números racionais: 2/3, -3/7, 0,001=1/1000,0,75=3/4, 0,333... = 1/3, 7 = 7/1, etc. 6

Notas: a) é evidente que N Ì Z Ì Q. b)