Erros em cálculo numérico

Capítulo 1: Erros em cálculo numérico

1. Introdução

Um método numérico é um método não analítico, que tem como objectivo determinar um ou mais valores numéricos, que são soluções de um certo problema.

Ao contrário das metodologias analíticas, que conduzem a soluções exactas para os problemas, os métodos numéricos produzem, em geral, apenas soluções aproximadas. Por este facto, antes da utilização de qualquer método numérico é necessário decidir qual a precisão dos cálculos com que se pretende obter a solução numérica desejada. A precisão dos cálculos numéricos é também, como veremos, um importante critério para a selecção de um algoritmo particular na resolução de um dado problema.

A diferença entre o valor obtido (aproximado) e o valor exacto chama-se erro.

2. Fonte e tipos de erros

A resolução de um problema de engenharia num computador utilizando um modelo numérico produz, em geral, uma solução aproximada do problema. A introdução de erros na resolução do problema pode ser devida a vários factores. Em função da sua origem, podemos considerar quatro tipos de erros.

i) Erros inerentes ao modelo: Um modelo matemático raramente oferece uma representação exacta dos fenómenos reais. Na grande maioria dos casos são apenas modelos idealizados, já que ao estudar os fenómenos da natureza vemo-nos forçados, em regra geral, a aceitar certas condições que simplificam o problema de forma a torná-lo tratável.

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ii) Erros inerentes aos dados: Um modelo matemático não contém apenas equações e relações, também contém dados e parâmetros que, frequentemente, são medidos experimentalmente, e portanto, aproximados. As aproximações nos dados podem ter grande repercussão no resultado final.

iii) Erros de truncatura: Muitas equações têm soluções que apenas podem ser construídas no sentido que um processo infinito possa ser descrito como limite da solução em questão. Por definição, um processo infinito não pode ser completado, por isso tem de ser truncado após certo número finito de operações. Esta substituição de um processo infinito por um processo finito, resulta num certo tipo de erros designado erro de truncatura.

iv) Erros de arredondamento: Quer os cálculos sejam efectuados manualmente quer obtidos por computador somos conduzidos a utilizar uma aritmética de precisão finita, ou seja, apenas podemos ter em consideração um número finito de dígitos. O erro devido a desprezar os outros e arredondar o número é designado por erro de arredondamento.

Erros inerentes ao modelo e erros inerentes aos dados são erros iniciais do problema, exteriores ao processo de cálculo; Os erros de truncatura e erros de arredondamento ocorrem no processo de cálculo duma solução numérica.

3. Erros de truncatura

Os erros de truncatura dependem do método numérico utilizado e por isso serão individualmente analisados ao estudar os vários métodos no decurso dos diferentes capítulos da disciplina.

Vamos limitar aqui a análise a um exemplo concreto que ajuda a uma melhor percepção deste tipo de erros.

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A generalidade dos métodos numéricos, como veremos ao longo da disciplina, são baseados na aproximação de funções por polinómios. Por essa razão, quando um erro de um método numérico é questionado, temos de verificar a precisão com que o polinómio aproxima a verdadeira função.

Sabemos que o desenvolvimento de Taylor, que é uma série de potências infinita, representa de forma exacta uma função no interior de um intervalo de convergência. Comparando o desenvolvimento polinomial da solução numérica com o desenvolvimento em série de Taylor da solução exacta, particularmente