Estatística

A EVOLUÇÃO HISTÓRICA DO CONCEITO DE PROBABILIDADE

1. INTRODUÇÃO

As origens históricas da teoria das probabilidades estão vinculadas á teoria dos jogos e aos nomes de Fermat e Pascal, que na metade do século XVII formalizaram pela primeira vez o conceito de probabilidade. Falamos aqui de história escrita (mesmo que isto seja uma redundância), já que existem indícios o trabalho de Fermat e Pascal consolidou idéias que foram desenvolvidas a partir do século XII.

No decorrer do tempo a teoria das probabilidades foi superando o marco original da teoria dos jogos para constituir na atualidade um ramo da matemática pura com aplicações nas ciências de um modo geral. Faremos aqui uma breve revisão dos aspectos fundamentais da evolução do conceito de probabilidade.

Para começar, podemos dizer que o objetivo da teoria das probabilidades é o estudo dos fenômenos aleatórios. A seguir daremos algumas definições na linguagem matemática atual para facilitar nosso trabalho.

Definição. Um fenômeno é chamado aleatório se ele tem a seguinte propriedade: quando observado repetidamente sob as mesmas condições ele produz resultados diferentes.

Exemplo: jogar uma moeda repetidamente e observar o resultado da face de cima.

Observação: quando a possibilidade de repetir o fenômeno está na mão do experimentador, este fenômeno aleatório é chamado de experimento aleatório. O exemplo acima é de um experimento aleatório.

Definição. O espaço dos resultados ou espaço amostral de um fenômeno aleatório é o conjunto de todos os seus resultados possíveis. Será denotado pela letra grega .

Chama-se evento a qualquer subconjunto do espaço dos resultados.

O conceito de espaço dos resultados é apenas o ponto de partida para o estudo de um fenômeno aleatório. É bastante evidente a necessidade de “pesar”, “ponderar” ou “dar probabilidades” aos diversos resultados possíveis. A seguir consideraremos as principais abordagens deste problema, em ordem cronológica, via as respectivas definições.

2. DEFINIÇÕES CLÁSSICA, FREQÜENTISTA E AXIOMÁTICA DE PROBABILIDADE

2.1. Definição clássica ou a priori (Fermat e Pascal, metade do século XVII)

No contexto de um jogo e desde o ponto de vista de um jogador, consideram-se o conjunto de todos os resultados ou casos possíveis, sendo feita uma partição em dois subconjuntos: o dos resultados ou casos favoráveis e o dos não favoráveis (ao jogador). Assim a probabilidade do jogador ganhar define-se por:

.

Exemplos: joga-se um dado, a probabilidade de se obter um “5 ou 6” será igual a 2/6; joga-se uma moeda, neste caso a probabilidade de se obter o resultado {cara} é ½.

Observações: está implícito, portanto, que a moeda e o dado devem ser equilibrados. Também há outros problemas: como calcular, por exemplo, a probabilidade de que o peso um bebe recém nascido esteja entre os 3 e 4 kilos? A definição acima leva a uma indeterminação do tipo / (neste caso, se A for finito Pr(A)=0 e se A for infinito Pr(A) é indetermindado; este problema acontecerá com qualquer variável de tipo contínuo).

Em resumo, há duas restrições ao funcionamento da definição clássica:

i) todos os casos possíveis devem ter a mesma probabilidade (ou, em um linguagem atual, equiprobabilidade dos elementos do espaço dos resultados);

ii) número finito de casos possíveis (finitude do espaço dos resultados).

Propriedades. Seja  um conjunto finito. Pode-se formalizar a definição clássica da seguinte forma: se A, .

Agora é possível provar que a função de conjunto Pr(.) tem as seguintes propriedades:

I) para todo A vale que 0  Pr(A)  1;

II) Pr() = 1;

III) se A, B e AB =  então Pr(AB) = Pr(A) + Pr(B) (aditividade).

Estas propriedades, por sua vez, decorrem das seguintes propriedades da função de conjunto número de elementos de (A), denotada por no (A)) e definida para todo A:

a) para todo A vale que 0 no(A)  no();

b) se A, B e AB =  então no(AB) = no(A) + no(B).

A função de conjunto no(.) é usualmente denominada a função de contagem.

2.2. Definição freqüentista ou a posteriori (segunda metade do século XVII)

Logo após a introdução da definição clássica apareceu a semente de uma nova definição.

Considera-se um experimento que possa ser repetido nas mesmas condições um número “grande” de vezes. Novamente  denotará o espaço de resultados do experimento. Seja A um evento cuja probabilidade se deseje calcular. Neste caso o experimento será repetido várias vezes, estimando-se a probabilidade de A pela sua freqüência relativa de ocorrência, ou seja:

.

Observe-se que desta forma não são necessárias as hipóteses de equiprobabilidade dos eventos elementares nem de finitude do espaço dos resultados, superando-se portanto as duas restrições da definição clássica. Entretanto, esta nova “definição” introduz as seguintes dificuldades:

i) é necessária certa regularidade da seqüência das freqüências relativas, no sentido de que a mesma se mantenha estável e convergindo para um valor que seria a probabilidade de A;

ii) mesmo admitindo a existência do limite mencionado em a), quando parar?

Quanto a i) é impossível demonstrar concretamente a existência do limite acima mencionado; pode-se testar a estabilidade da freqüências relativas como um indício apenas da existência do limite (pois a estabilidade é uma condição necessária para sua existência).

Quanto a ii), se aceitarmos a existência do limite acima (ou seja, da probabilidade), o teorema de Bernoulli (1713) garante a convergência da seqüência das freqüências relativas à probabilidade (de um modo que não precisaremos