Explique Porque Ao Dividirmos Qualquer número Inteiro X Por 4 Nunca Obtemos Uma dízima Periódica.

ATD1

Investigando a relação entre divisor (ou denominador de uma fração) e as dízimas periódicas.

1) Explique porque ao dividirmos qualquer número inteiro x por 4 nunca obtemos uma dízima periódica.

Dado um inteiro , temos quatro possibilidades quando o dividimos por quatro.

O resto pode ser zero, um, dois ou três.

Em outras palavras, qualquer inteiro pode ser escrito em uma das formas, 4k,4k+1,4k+2 ou 4k+3.

É claro que, ao ser dividido por quatro não resulta numa dízima periódica, porque o resto da divisão é zero.

Já dividido por quatro resulta em .

Que também não é uma dízima.

Agora ao ser dividido por quatro resulta em

Que também não é uma dízima.

Por fim, quando dividimos um número da forma por quatro, obtemos .

Que também não é uma dízima.

Pronto, provamos que, qualquer que seja o número inteiro , quando o dividimos por não obtemos uma dízima periódica.

2 ) Quando dividimos um número inteiro y por 3 pode ser que o resultado seja uma dízima periódica. Em que casos o resultado é uma dízima periódica e em que casos não é? Justifique ambos.

Dado um inteiro temos três possibilidades quanto ao resto da divisão de por .

Se o resto for , é da forma .

E é claro que dividido por não resulta numa dízima.

Se o resto for , temos .

Veja que, .

Note que, é uma dízima periódica.

Assim, se deixa resto quando dividido por , obtemos uma dízima periódica quando dividimos por .

Se deixa resto , teremos e

Como é uma dízima, se deixa resto dois quando dividido por três, o resultado da divisão de x por 3 é uma dízima periódica.

Contudo, o resultado é uma dízima periódica quando x deixa resto 1 ou 2 quando dividido por 3.