Fisica 3

momento, dissemos da relação de d/2 com o seno e concluímos que ele tem 90°. Lembrando que as linhas vão em sentido à carga negativa, então o ângulo correto é -90°.

25. Na figura, duas barras curvas de plástico, uma de carga +q e outra de carga -q, formam uma circunferência de raio R = 8.50cm no plano xy. O eixo x passa pelos dois pontos de ligação entre os arcos, e a carga está distribuída uniformemente nos dois arcos. Se q = 15.0 picoC, determine:

a) o módulo;

b) a orientação (em relação ao semi-eixo x positivo) do campo elétrico E no ponto P, situado no centro da circunferência.

Galera, eu tinha uma resposta quase certa mas fracassei num detalhe que compromete toda a conta... No caso, um pi³ no lugar de um pi² no divisor. De qualquer forma, a expressão usada por uma resolução automática é decompor a carga dessa maneira:

q=λπR

E jogar na equação do campo elétrico:

|E→|=E++E−=2Esinθ

(até aí, igualzinho ao exercício anterior)

|E→|=214πε0×λπRπR2sinθ=λπR2R2π2ε0(sin−90−sin90)=λ2Rπε0×(−2)=−qπ2ε0R2

Daí jogando os valores:

|E→|=−15×10−12π2ε0(0.085)2=−15×10−12C8.85×10−12×π2×0.007225=−150.06394125π2≈234.59π2≈23.77N/C

E é isso aí. Deve ter reconhecido um problema no piR², ou está certo e eu estou confuso na matemática básica, sei lá. Mas o resultado é esse.

Quanto ao ângulo, perceba que a carga negativa está na parte inferior do círculo. É a mesma associação do exercício passado, -90°. Ao menos isso eu entendi bem, rs. Perdão pelo exercício, galera. Próximo.

30. Uma barra fina não-condutora, com uma distribuição uniforme de carga positiva Q, tem a forma de um círculo de raio R. O eixo central do anel é o eixo z, com a origem no centro do anel. Determine o módulo do campo elétrico:

a) no ponto z = 0;

b) no ponto z tendendo a infinito;

c) em termos de R, para que valor positivo de z o módulo do campo é máximo?

d) se R = 2.00cm e Q = 4.00 microC, qual é o valor máximo do campo?

Ok, essa questão é chata... Acho que caiu na primeira prova, até. Aqui o esquema é o seguinte: podemos fazer uma análise por equações prontas que o livro do Halliday nos ensina. Podemos fazer aquela análise por integral também. Vou fazer o completo (aproveitar que o livro tem tudo rs) mas a parte importante mesmo é só a equação final.

Veja bem:

cosθ=zr=z(z2+R2)1/2

(o r menor virar aquilo é devido ao fato do r menor ser a hipotenusa de um triângulo retângulo formado pelos catetos z e R)

Sendo:

dE=Kλds(z2+R2)

Juntamos dE com o cosseno:

dEcosθ=Kλz(z2+R2)3/2ds

Integramos os dois lados (s sendo o arco do anel, indo de 0 a 2piR):

E=∫dEcosθ=∫ Kλz(z2+R2)3/2ds= Kλz(z2+R2)3/22πR

O lambda com o 2piR forma uma carga q, o resto permanece igual:

E=Kqz(z2+R2)3/2

Essa é a equação fixa do anel. Para o exercício A, precisamos substituir z por 0.

E=Kq(0+R2)3/2×0=0

Para o exercício B, jogamos um limite de z tendendo a infinito após trabalhar a equação:

E=limz→∞Kqz(z2+R2)3/2

Dá pra escapar daqui por um monte de método, mas no blog é bom economizar espaço. Vamos então aplicar o teorema de L'Hopital (aquele do cálculo I, lembram?), derivar em cima e embaixo com relação a z pra facilitar as coisas:

E= limz→∞Kq12z×32(z2+R2)1/2= limz→∞Kq13z×(z2+R2)1/2

Jogue os limites, o resultado tende a 0. Grato ao arroba @armiquilino (Alexandre Miquilino) por me lembrar do L'Hopital. (começando as participações especiais no blog!)

Para o exercício C, queremos o valor de z para o campo máximo. A conclusão a se chegar é fácil, o único chato é fazer mesmo. Quando queremos o valor máximo de alguma coisa usando alguma variável, já nos vem de cara setar a derivada da função incógnita com relação à variável a 0. Assim, em prática:

df(x)dx=0

No caso:

df(z)dz=ddz[Kqz(z2+R2)3/2]=Kqddz[z×(z2+R2)−3/2]=Kq[(1×(z2+R2)−3/2)+(z×(2z×−32(z2+R2)−5/2))]=Kq[1(z2+R2)3/2−3z2(z2+R2)5/2]=Kq[(z2+R2)−3z2(z2+R2)5/2]=KqR2−2z2(z2+R2)5/2=0

Agora queremos isolar o z, não é? Vamos fazer o seguinte então. Note que a expressão acima pode ser vista também como:

KqR2(z2+R2)5/2−Kq2z2(z2+R2)5/2=0

Passando a parte do -2z pro outro lado como positivo:

Kq2z2(z2+R2)5/2=KqR2(z2+R2)5/2

Cortando as partes iguais dos dois lados:

2z2=R2z2=R22z=R22−−−√=R2√ ≈0.707R

Isso, claro, porque queremos o valor positivo de z. Poderia ser -0.707R também por causa da raiz.

Bem trabalhoso, não é?

Para o exercício D, temos dois valores dados, a carga C (4 microC) e o raio R (2cm). O valor de z é o máximo, logo vamos substituir z pelo valor descoberto no exercício passado. Só jogar tudo na equação do anel:

E=Kqz(z2+R2)3/2=(8.99×109Nm2/C2)×(4×10−6C)×R2√((R2√)2+(0.02m)2)3/2=35.96×103Nm2/C×0.02m2√((0.02m2√)2+0.0004m2)3/2=35.96×103Nm2/C×0.02m2√×((0.0004m22)+0.0004m2)3/2=35.96×103Nm2/C×0.02m2√×(0.0002m2+0.0004m2)3/2= 35.96×103Nm2/C×0.02m2√×(0.0006m2)3/2≈ 35.96×103Nm2/C×0.02m2√×(1.47×10−5)=35.96×103Nm2/C1360.832√m2=48935×103Nm2/C2√m2≈34602.59×103N/C≈3.5×107N/C

Enfim está encerrado. Acho que esse 30 é o mais escroto do capítulo 22. Depois disso é tudo mais pacífico.

O resto eu não vou fazer por motivos de: já passou o semestre e eu nem tenho mais as coisas aqui, e o exame já foi e etc. Então fiquem com esses exercícios mesmo, talvez sejam úteis. :Ç