Funções e derivados

Definição

Seja uma função indefinidamente derivável num ponto .

Chama-se série de Taylor de f no ponto a à série de potências,

ou seja à série

No caso particular de a = 0, obtém-se a série

que se designa por série de Mac-Laurin de f.

Por exemplo, as funções e têm as derivadas de todas as ordens dadas por e , respectivamente. As correspondentes séries de Taylor no ponto a = 0 (ou séries de Mac-Laurin) são, respectivamente,

e

O facto de podermos escrever a série de Taylor de uma função num ponto (o que se verifica para qualquer função indefinidamente derivável nesse ponto) não garante que a função seja soma dessa série, mesmo no intervalo de convergência desta, como se verifica no exemplo que se segue.

Exemplo

Consideremos a função definida em por

É imediato verificar que esta função é indefinidamente diferenciável em e, por indução, pode-se provar que tem derivadas, de qualquer ordem, na origem, e que estas são todas nulas.

Portanto, a sua série de Mac-Laurin tem os coeficientes todos nulos, pelo que é convergente, para qualquer e a sua soma é sempre nula.

No entanto, a função f apenas se anula no ponto 0, pelo que não é igual à soma da sua série de Mac-Laurin em nenhum ponto diferente de 0. Conclui-se, assim, que não existe nenhuma vizinhança de 0 em que a função seja igual à soma da sua série de Mac-Laurin.

Portanto, f não é analítica no ponto 0, apesar de se poder determinar a sua série de Mac-Laurin.

Definição

Diz-se que uma função f(x) é desenvolvível em série de Taylor num ponto se f(x) é a soma da sua série de Taylor nalguma vizinhança do ponto considerado.

Por exemplo, a função do exemplo anterior não é desenvolvível em série de Taylor no ponto zero.

Coloca-se, então, a questão de encontrar condições, a impôr à função, que nos permitam garantir que esta é efectivamente soma da sua série de Taylor numa vizinhança do ponto considerado. É o caso do resultado que se segue. Note-se, no entanto, que este nos dá apenas uma condição suficiente para que a função seja desenvolvível em série de Taylor num ponto; a função pode ser desenvolvível em série de Taylor num ponto sem verificar a mencionada condição. De referir que esta condição é bastante restritiva. Existem outros resultados, bastante mais gerais, que permitem garantir que uma função é desenvolvível em série de Taylor num certo ponto.

Proposição (Cond. suf. de desenvolvimento em série de Taylor)

Seja f(x) uma função indefinidamente derivável no intervalo , cujas derivadas de qualquer ordem são globalmente limitadas neste intervalo, isto é, para a qual existe uma constante M tal que

para todo o e para todo o n ≥ 0.

Então, neste intervalo, f(x) é soma da série de Taylor no ponto a, isto é,

Exemplo

Já vimos que as funções e têm as derivadas de qualquer ordem dadas por

Em qualquer intervalo ] -R, R [ estas derivadas assumem valores entre -1 e 1, pelo que, em módulo, são todas limitadas por 1

A proposição anterior permite, então, afirmar que as funções sen x e cos x são soma das suas séries de Mac-Laurin em qualquer intervalo ] -R, R [.

Portanto, para qualquer

e

Exemplo

A função é indefinidamente derivável e .

Como a função exponencial é crescente, em qualquer intervalo ] -R, R [, com R > 0, tem-se , qualquer que seja n ≥ 0.

Portanto, a função exponencial é desenvolvível em série de Mac-Laurin sendo o desenvolvimento válido em qualquer intervalo ] -R, R [, e consequentemente em toda a recta real. Como

Em particular, considerando x = 0, obtém-se