GEOMETRIA EUCLIADIANA

Axiomas da Geometria Euclidiana

Sadao Massago

Abril de 2010

Sumário

1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Axioma da Incidência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

3 Axiomas de ordem (na reta) e separação do plano . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

4 Axioma da distância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

5 Axioma dos ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

6 Congruências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

7 Retas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1 Introdução

Este texto apresenta os axiomas da geometria euclidiana, acompanhado de comentários importantes.

No entanto, ainda não é um texto completo, pois foi elaborado com o objetivo de

ser usado como um complemento de algum texto mais completo. Portanto, a explicação em

torno dos axiomas e alguns pontos importantes na geometria são enfatizados, mas existem várias

informações que maioria dos textos costumam apresentar. Também não há preocupação

de apresentar definições, resultados, exemplos e exercícios de forma completa. Como o texto

ainda está na fase inicial de elaboração, pode conter erros.

O plano é um conjunto na qual seus elementos são denominados de pontos e uma reta é um

subconjunto especial do plano. Neste texto, não vamos filosofar sobre planos, retas e pontos.

O plano, retas e pontos são objetos matemáticos caracterizado pelos conjuntos de axiomas

(“regras”) que serão apresentados aos poucos.

2 Axioma da Incidência

Axioma 1 (incidência). Dados dois pontos distintos, existe uma única reta que os contém.

Axioma acima é da determinação das retas. Na forma informal, seria “dois pontos distintos

determina uma única reta”.

Axioma 2 (distinção da reta e do ponto). Toda reta possui pelo menos dois pontos distintos.

Axioma acima garante que a reta não pode ser conjunto unitário com apenas um único

ponto (com o abuso da linguagem: “ponto é distinguido da reta”), nem o conjunto vazio.

Axioma 3 (distinção da reta e do plano). Existem pelo menos três pontos não colineares.

1

Axioma acima garante que “plano é mais do que uma reta”. Também pode ser enunciado

como “dado uma reta, existe pelo menos um ponto não pertencente a reta”).

Exercício 1. Explique o significado de cada um dos axiomas acima.

Exercício 2. Defina o que é pontos serem colineares.

Exercício 3. Mostre que, se três pontos forem não colineares, então são distintos.

Exercício 4. Mostre que dois últimos axiomas pode ser substituido por

1. (Existência da reta) Existe pelo menos uma reta.

2. (distinção da reta) Dada uma reta, existe pelo menos dois ponto pertencentes a reta e

um ponto não pertencente a reta.

Exercício 5. Justifique que no exercício anterior, 1. pode ser substituido por “existe pelo

menos dois pontos”.

Exercício 6. O conjunto que satisfaz os axiomas de incidência é denominado de plano de

incidência. Mostre que o plano de incidência tem pelo menos três pontos e três retas. Dê

exemplo do plano de incidência com exatamente três pontos e três retas.

Exercício 7. Faça o desenho ilustrativo para cada um dos axiomas.

3 Axiomas de ordem (na reta) e separação do plano

Os axiomas de incidência não garante que tem infinitos pontos na reta. No entanto, colocar

axioma para garantir somente a existência de infinitos pontos não força a ser reta, pois pode

haver “saltos” entre os pontos da reta como no conjunto f 1

n : n 2 Ng. Para evitar que tenha

saltos, precisaria garantir que tenha pontos entre dois pontos quaisquer. Alem disso, uma reta

tem que continuar para ambos lados, o que requer que tenha pontos fora do segmento. Os

axiomas de ordem serve para este propósito.

O ponto B está entre os pontos A e C que será denotado por A  B  C, satisfazem os

seguintes axiomas.

Axioma 4. A  B  C então A;B e C são colineares, distintos e C  B  A.

Axioma acima é uma propriedade similar a reflexitiva (simetria). O próximo axioma garante

que está bem definida (não há ambiguidade).

Axioma 5. Dados três pontos colineares e distintos, um e apenas um está entre outros dois.

Axioma 6. Dados dois pontos A e C, existem pontos B e D tais que A  B  C e A  C  D.

Axioma acima é necesário para garantir que não há saltos, assim como distinguir segmento

de