Hiperbole

Hipérbole

Definição

Por definição, tem-se como hipérbole, o conjunto de todos os pontos de um plano em que, a diferença em valor absoluto entre dois desses pontos, é constante.

Como exemplo, temos:

Sejam F1 e F2 dois pontos distintos do mesmo plano tal que a distância d(F1 - F2) = 2c seja a constante 2a, sendo a número real tal que 0<a<c.

(Figura 1 – segue como anexo)

Pela figura, tem-se:

 PF1 - PF2  = 2 a

Equação reduzida

A equação da hipérbole demonstra grande semelhança com a da elipse, diferenciando-se, apenas, que essa relação é sobre a diferença (e não sobre adição, como na elipse).

Considerando-se a hipérbole de centro na origem, de focos F1= (c, O) e F2=(-c, O) , e sendo 2a, a constante a que se refere a definição.

Sendo P=(x, y), um ponto qualquer da hipérbole, tem-se:

|√(〖(x+c)〗^2+y^2 ) - √(〖(x-c)〗^2+y^2 )| = 2a

√(〖(x+c)〗^2+y^2 ) - √(〖(x-c)〗^2+y^2 ) = ±2a

E sucessivamente:

(√(〖(x-c)〗^2+y^2 ) ) =( ±2a + √(〖(x-c)〗^2+y^2 ))

x²+2cx+c²+y²=4a²+x²-2cx+c²+y²±4a√(〖(x-c)〗^2+y^2 )

cx-a²=±a√(〖(c-x)〗^2+y^2 )

c^2 x^2-2a^2 cx+a^(4 ) = a²(x^2-2xc+c^2+y^2)

(c²-a²)x²-a²y²=a²(c^2-a^2)

Pela definição, como

2c>2a→c>a é c²-a²>0

Então fazendo b²=c²-a² , vem:

b²x²-a²y²=a²b²

Dividindo os dois membros por a²b², vem a equação:

Casos

Seja a hipérbole com centro em C(0,0), temos dois casos:

1° caso: o eixo real está sobre o eixo dos x:

(Figura 2 – segue como anexo)

2° caso: o eixo real está sobre o eixo dos y:

(Figura 3 – segue como anexo)

Os elementos da hipérbole

(Figura 4 – segue como anexo)

F1, F2 são os focos. A distância entre os focos F1,F2, igual a 2c, denomina-se distância focal.

O Centro da hipérbole; é o ponto médio do segmento F1,F2.

A1,A2 vértices da Hipérbole.

Eixo real ou transversal é o segmento A1,A2 cujo comprimento é 2a.

Eixo imaginário ou conjugado é o segmento B1B2 e cujo comprimento é 2b.

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