Matemática Aplicada

Etapa 1

Uma empresa do ramo agrícola tem o custo para a produção de q unidades de um determinado insumo descrito por C(q) = 3q + 60. Com base nisso:

a) Determinar o custo quando são produzidos 0, 5, 10, 15 e 20 unidades deste insumo.

R: C(0) = 3.0 + 60 = 60

C(5) = 3.5 + 60 = 75

C(10) = 3.10 + 60 = 90

C(15) = 3.15 + 60 = 105

C(20) = 3.20 + 60 = 120

b) Esboçar o gráfico da função.

c) Qual é o significado do valor encontrado para C, quando q = 0?

R: Note que C(0) = 60, e que este valor é o custo inicial para a produção deste insumo, pois neste momento se tem 0 unidades produzidas, e o pago é 60, logo este é o valor inicial para o custo.

d) A função é crescente ou decrescente? Justificar.

R: Como o valor de q é sempre positivo (não se pode ter unidades negativas neste caso), como temos sempre unidades positivas, quanto maior for o valor de q, maior será o valor de C(q), então a função é sempre crescente.

Se for de nível superior, pode-se derivar a função, tendo C(q) = 3q + 60 => C(q) = 3 como 3 é positivo, então a função é sempre crescente.

e) A função é limitada superiormente? Justificar.

R: Não, por ser uma reta, e a função ser sempre crescente, jamais poderá ser encontrado um valor limitante superior para C(q).

Etapa 2

O consumo de energia elétrica para uma residência no decorrer dos meses é dado por E = t² - 8t + 210, onde o consumo E é dado em kWh, e ao tempo associa-se t = 0 para janeiro, t = 1 para fevereiro, e assim sucessivamente.

a) Determinar o(s) mês(es) em que o consumo foi de 195 kWh.

E = t² - 8t + 210

T

Janeiro 0 210 kWh

Fevereiro 1 203 kWh

Março 2 198 kWh

Abril 3 195 kWh

Maio 4 194 kWh

Junho 5 195 kWh

Julho 6 198 kWh

Agosto 7 203 kWh

Setembro 8 210 kWh

Outubro 9 219 kWh

Novembro 10 230 kWh

Dezembro 11 243 kWh

Nos meses de Abril e Junho o consumo foi de 195 kWh

b) Determinar o consumo médio para o primeiro ano.

Consumo Médio = (210 + 203 + 198 + 195 + 198 + 203 + 210 + 219 + 230 + 243)

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Consumo Médio = 208,2 kWh

c) Com base nos dados obtidos no item anterior, esboçar o gráfico de E.

d) Qual foi o mês de maior consumo? De quanto foi esse consumo?

O mês de maior consumo foi Dezembro, 243 kWh.

e) Qual foi o mês de menor consumo? De quanto foi esse consumo?

O mês de menor consumo foi Maio, 194 kWh.

Etapa 3

Sabe-se que o comportamento da quantidade de um determinado insumo, quando ministrado a uma muda, no instante t, é representado pela função Q(t) = 250. (0,6)^t, onde Q representa a quantidade (em mg) e t o tempo (em dia). Então, encontrar:

a) A quantidade inicial administrada.

Considerando a quantidade inicial t = 0, temos

Q(0) = 250. (0,6)^0

Q(0) = 250 mg

A quantidade inicial administrada é de 250 mg.

b) A taxa de decaimento diária.

Q(0) = 250. (0,6)^0

Q(0) = 250 mg

Q(1) = 250. (0,6)^1

Q(1) = 150 mg

Q(2) = 250. (0,6)^2

Q(2) = 90 mg

Q(3) = 250. (0,6)^3

Q(3) = 54 mg

Q(4) = 250. (0,6)^4

Q(4) = 32,4 mg

Q(5) = 250. (0,6)^5

Q(5) = 19,44 mg

Q(1) / Q(0) = 0,6

Q(2) / Q(1) = 0,6

Q(3) / Q(2) = 0,6

Q(4) / Q(5) = 0,6

A taxa de decaimento é de 60% por dia.

c) A quantidade de insumo presente 3 dias após a aplicação.

t = 3

Q(3) 250. (0,6)^3

Q(3) = 54 mg

A quantidade de insumo presente 3 dias após a aplicação é de 54 mg.

d) O tempo necessário para que seja completamente eliminado.

Como é uma função exponencial, ela nunca irá zerar, ou seja, o insumo será eliminado completamente....

Q(t) = 250. (0,6)^t Q(t) = 0 (0,6)^t = 0/250 (0,6)^t = 0

Resumo teórico contendo os principais aspectos sobre o conceito de Derivadas.

Veremos nesse resumo o conceito de taxa de variação e alguns exemplos analisando a taxa de variação média e a taxa de variação instantânea.

Taxa de variação média.

O conceito de taxa d variação média não