Matemática Aplicada

Em uma escola, os professores possuem uma carga horária semanal de 2 horas-aulas para cada 20 alunos. O número de alunos matriculados para este ano foi:

Manhã - 180

Tarde – 200

Noite – 140

Fins de semana – 60

O salário bruto do professor é de R$ 50,00 por hora/aula menos 20% de descontos (FGTS, INSS, entre outros).

O custo para pais e alunos é:

Manhã e tarde – R$ 200,00

Noite – R$ 150,00

Fim de semana – RR$ 130,00.

Atividade 1 - Escreva a função Receita para cada turno de aulas (manhã, tarde, noite e final de semana). Depois, calcule o valor médio das mensalidades e escreva outra função. Receita para o valor obtido como média.

Atividade 2 - Escreva a função Custo da escola que dependerá de escrever a função

Salário dos professores. Utilize variáveis diferentes para representar o número de alunos e o número de grupos de 20 alunos que poderão ser formados.

Atividade 3 – Obtenha a função lucro e o valor informado pelo gerente no cadastro da escola.

Atividade 4 – Obtenha a função que determina o valor das prestações do financiamento do custo dos computadores e elabore tabela e gráfico para: 2, 5, 10, 20 e 24 prestações.

Atividade 5 – Obtenha a função que determina o valor total para pagamento do capital de giro.

Atividade 6 – Conselhos do contador – o que o grupo diria ao Dono da Escola?

Os problemas abordam os seguintes conteúdos: função do primeiro grau, cálculo do valor médio, função composta, função racional e função exponencial.

Função do primeiro: Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais. Toda função pode ser representada graficamente, e a função do 1º grau é formada por uma reta. Essa reta pode ser crescente ou decrescente, dependendo do sinal de a.

Características de um gráfico de uma função do 1º grau.

Com a > 0 o gráfico será crescente.

Com a < 0 o gráfico será decrescente.

O ângulo α formado com a reta e com o eixo x será agudo (menor que 90°) quando a > 0.

O ângulo α formado com reta e com o eixo x será obtuso (maior que 90º) quando a < 0.

Na construção de um gráfico de uma função do 1º grau basta indicar apenas dois valores pra x, pois o gráfico é uma reta e uma reta é formada por, no mínimo, 2 pontos.

Apenas um ponto corta o eixo x, e esse ponto é a raiz da função.

Apenas um ponto corta o eixo y, esse ponto é o valor de b.

Cálculo do valor médio: A taxa de variação média é obtida pela divisão de duas grandezas que, tem unidade de medida que, na pratica, têm unidades de medidas, então a taxa de variação média também tem unidade de medida que será dada pela divisão das duas unidades de medidas envolvidas. Na verdade, o conceito de taxa de variação média não é exclusivamente das funções do 1º grau. A taxa de variação média pode ser calculada para qualquer função. Se y represente a variável dependente e x a variável independente, então a taxa de variação média de y em relação a x é calculada pela razão:

m=∆y∆x = fx0-f(x1)x1-x0

Função composta: (ou função de função) à função obtida substituindo-se a variável independente x, por uma função.

São as funções em que o conjunto imagem de uma função f(x) serve de domínio para outra função g(x), que por sua vez gera um conjunto imagem A. A função composta é uma expressão que, dado um determinado número do domínio de f(x), nos leva diretamente ao conjunto imagem A. Exemplo: Dadas as funções f(x) = 2x + 3 e g(x) = x - 1, uma função composta pode ser g(f(x)) = 2x + 2. Existem várias maneiras de se criar funções compostas. Podemos fazer f(g(x)), f(f(x)) etc.

Uma função racional, y = f(x), é uma função que pode ser expressa como uma razão (quociente) de dois polinômios P(x) e Q(x).

Algumas Considerações:

• O domínio de uma função racional consiste de todos os números reais x tais que Q(x) 0.

• Ao contrário dos polinômios, cujos gráficos são curvas contínuas (sem interrupções), o gráfico de uma função racional pode apresentar interrupções (descontinuidades) nos pontos onde o denominador é igual a zero.

• Ao contrário dos polinômios, uma função racional pode não estar definida para determinados valores de x. Próximo desses valores, algumas funções racionais têm gráficos que se aproximam bastante de uma reta vertical (assíntota vertical) que é representada por linhas tracejadas.

• Uma exceção é o caso em que, apesar do denominador ser igual à zero para um determinado valor de x, este pode ser cancelado no processo de fatoração e simplificação. Nesse caso, a função racional apresenta um "furo" no ponto onde o denominador é igual a zero.

• Outra característica de algumas funções racionais é o fato de algumas funções começarem e/ou terminar cada vez mais perto de uma reta horizontal (assíntota horizontal).

Função exponencial: São equações que possuem uma incógnita no expoente. São resolvidas fazendo com que suas bases fiquem iguais. A partir daí, é só igualar os expoentes e então, determinar o valor da incógnita.

Basta usar as propriedades de potenciação ou de radiciação acima e pronto!

A função exponencial é uma das funções matemáticas mais úteis e poderosas em estudos ambientais, aplicável, entre outros exemplos, ao crescimento das populações e das suas necessidades (consumo de recursos) e ao estudo de problemas como a acumulação de poluentes e ainda