Matemática Aplicada As Ciências Naturais II

Universidade do Estado do Pará - UEPA

Curso Licenciatura em Biologia

Disciplina Matemática Aplicada as Ciências Naturais II

PRIMITIVA DE UMA FUNÇÃO

Seja uma função definida num intervalo I. Uma primitiva de em I é uma função definida em I, tal que

,

para todo I.

Ex.: 1) é a primitiva da função em , pois, para todo , temos

Sendo a função uma primitiva da função em I, então para toda constante , também é uma primitiva de , pois

.

Daí, segue que as primitivas de em I são as funções da forma , com constante. Dizemos, então que

é uma família das primitivas de em I.

O simbolismo usado para representar uma família de primitivas pode ser compreendido pensando-se na diferencial como uma “porção infinitesimal” de e imaginando que é a soma de todos esses infinitésimos. Leibniz usou uma letra estilizada, escrita , para tais “somatórios”, tal que

deve simbolizar a idéia de que “ é a soma de todas as suas diferenciais individuais”. Johann Bernoulli, um contemporâneo de Leibniz, sugeriu que o processo de reunir infinitésimos de forma a se ter uma quantidade inteira ou completa, deva ser chamada de integral ao invés de somatório. A idéia de Bernoulli foi aceita, daí o símbolo é referido como sinal de integral.

,

onde é chamada de constante de integração.

Regras básicas para a integração

a)

b)

c)

d) , para e racional.

e) .

f)

g)

Técnicas de Integração

Como já foi exposto, integrar uma função consiste em determinar uma família de primitivas dessa função. As técnicas de integração são métodos utilizados para a determinação dessas primitivas. As técnicas de integração consistem em “arrumar” o integrando de forma que se possa aplicar alguma das regras de integração. Existem várias técnicas de integração, como por exemplo mudança de variável, integração por partes, integração por frações parciais e outras.

Destacaremos duas técnicas que são mudança de variável e integração por partes.

Mudança de Variável

Teorema

Sejam e , tais que seja diferenciável. Então, temos que

.

Demonstração: Denotemos por a primitiva de , então temos pelo Teorema Fundamental do Cálculo que

.

Daí, aplicado a regra da cadeia, obtemos

,

de onde segue que é uma primitiva de . Aplicando novamente

...