Mediana , Altura , Bissetriz e Mediatriz de um Triângulo

Mediana , Altura , Bissetriz e Mediatriz de um Triângulo

Mediana

Definição: Denomina-se mediana de um triângulo o segmento que liga um vértice ao

ponto médio do lado oposto a este vértice.

AMA é mediana do triângulo

relativa ao vértice A .

Obviamente o triângulo possui 3 medianas, uma para cada vértice. O encontro das 3

medianas ocorre em um ponto denominado Baricentro.

Baricentro de um triângulo é o ponto de intersecção das suas medianas.

G é o Baricentro do D ABC.

AMA , BMB , CMC são as

medianas do D ABC.

AMA I BMB I CMC = { G }

O Baricentro é conhecido como centro de massa ou centro de gravidade, por este

motivo adota-se a letra G para representá-lo.

O ponto G divide as medianas em dois segmentos tais que a parte que contém o

vértice é igual ao dobro da outra.

Portanto temos: AG = 2 . GMA , BG = 2 . GMB e CG = 2 . GMC

Altura

Definição: Denomina-se altura de um triângulo o segmento de reta que é

perpendicular a um lado e contém o vértice oposto a este lado.

AHAé a altura do triângulo

relativa ao vértice A .

Note que a altura pode ser externa ao triângulo, como na figura abaixo:

O ponto HA é externo.

Define-se Ortocentro de um triângulo como sendo a intersecção das retas que contém

as Alturas deste triângulo.

H é o Ortocentro do D ABC.

AHA , AHB e AHC são as

alturas do D ABC .

AHA

«

, AHB

«

e AHC

«

são as retas que contém as

alturas .

AHA

«

I AHB

«

I AHC

«

= { H }

Note que o ponto H (ortocentro) pode ser externo ao triângulo, conforme a figura

abaixo:

Como você pode ver o ponto H pertence às retas que contém os segmentos das

alturas , H não é o ponto de encontro das alturas e sim das retas que contém as

alturas.

Bissetriz:

Definição: Denomina-se bissetriz do ângulo interno de um triângulo o segmento de

reta que divide o ângulo interno em duas metades iguais.

Note que a bissetriz de um ângulo é uma semi-reta e a bissetriz de um triângulo é um

segmento, note ainda que o triângulo possui três bissetrizes internas, uma para cada

vértice.

Incentro é o ponto de intersecção das bissetrizes internas de um triângulo.

S é o Incentro do D ABC.

ASA , BSB , CSC são as

bissetrizes internas do D ABC.

ASA I BSB I CSC = { S }

Propriedades:

1) O Incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo.

S é o centro da circunferência inscrita no triângulo , ou seja , a circunferência tangência

os lados do triângulo nos pontos P , Q e R . Então: SP = SQ = SR

2) As distâncias dos vértices aos pontos de tangência dos lados pertencentes a este

vértice são congruentes.

AR AQ

BR BP

CP CQ

=

=

=

RS |

T |

Demonstração:

Vamos demonstrar para um vértice ; para os demais vale o mesmo procedimento.

D ARSº D AQS

AS é comum

SR SQ raio da circunferência

ARS AQS ângulo reto no ponto de gência

=

=

RS |

T |

$ $ tan

Pelo caso especial de LLA para triângulos retângulos , DARS º DAQS Þ

AR = AQ c.q.d.

Mediatriz:

Definição: Denomina-se mediatriz de um segmento de reta, a reta perpendicular ao

segmento que passa pelo seu ponto médio.

M