Metodo De Posição Calculo Numerico

METODO DE POSIÇÃO FALSA

Á ideia de método de posição-falsa é, ao invés de particionar o intervalo [a, b] ao meio de cada iteração, parcionada na interseção da reta que une os pontos (a, f(a)) com eixo x.

Este caso, o ponto de quebra (por congruência de triângulos) pode ser escrito como:

Assim dada uma equação f(x)=0 e um intervalo [a, b] que contem uma raiz de f(x), pode-se escrever o algoritmo do método da falsa-posição como:

Algoritmo:

É fácil perceber (como mostram as figuras a seguir) que no método da falsa-posição pode ocorrer que um dos extremos do intervalo mantenha-se sempre fixo. Isto irá ocorrer sempre que a função f(x) for côncava ou convexa no intervalo [a, b].

Exemplo: p(k)= x³-5x²+17x+21=0 tem uma raiz no intervalo [-1, 0]. A tabela a seguir ilustra os resultados obtidos pelos métodos da bissecção e da falsa-posição para este caso.

MÉTODOS DE PONTO FIXO

Nos métodos de pontos fixos (ou métodos de iteração funcional), para determinar a raiz pertencente ao intervalo [a, b] da equação f(x)=0, procura-se determinar uma função g(x) tal que:

g(x)=x+c(x),f(x)

[a, b], desta maneira, procurar os volumes x* para os quais f(x*)=0, corresponde a procurar os valores x* tais que:

X*= g(x*) (ponto fixo)

Dependendo da escolha de g(x) tem-se diferentes métodos de ponto fixo.

EX: F(x)=x³-3x+1=0

Neste caso g(x) pode ser escrito como:

Condições para que exista um ponto fixo para uma função g(x).

Seja 1= [a, b] e g(x) uma função tal que:

Então existe pelo menos um x*

O problema e saber, no caso de haver várias funções g(x) possíveis qual e a melhor escolha. Isto é importante porque, dependendo desta escolha, podem acontecer os seguintes casos:

Seja g(x) uma função definida em l=[a, b], tal que:

Então existe exatamente um x*

Seja g(x) uma função satisfazendo as condições do anterior. Para a sequencia converge para x* e o erro de truncamento cometido na n-ésima iteração é tal que:

Ex: f(x)=x²-x-2 l=[0, 2]

Escolha de g(x):

Portanto, se quisermos a raiz negativa podemos considerar e se quisermos.

A raiz positiva em [1,2] podemos considerar

MÉTODODE NEWTON-RAPHSON

Seja f(x) uma função tal que f(x) e suas n derivadas f(n)(x) (n>0) são continuas no intervalo [a, b]. Seja f(x) (n+1) definida no intervalo (a, b). Então existe, pelo menos um valor

Seja xi uma aproximação para a raiz +h. Então, como f(x)=0 intervalo [xi, xi + h], Taylor pode se escrever:

Ignorando os próximos termos da expansão de Taylor, tem-se:

Portanto, como xi+ h deve ser uma nova aproximação para a raiz de f(x), tem-se o método de Newton-Raphson:

Exemplo: Sejam. Neste caso, . Portanto, pelo método de Newton-Raphson,