Modelagem Matematica

Modelagem Matemática

MODELOS MATEMÁTICOS DE CIRCUITOS ELÉTRICOS

Os circuitos equivalentes às redes elétricas com as quais trabalhamos

consistem basicamente em três componentes lineares passivos: resistores,

capacitores e indutores. A Tabela 1 resume os componentes e as relações entre

tensão e corrente e entre tensão e carga, sob condições iniciais nulas.

Tabela 1 – Relações tensão-corrente, tensão-carga e impedância para capacitoers,

resistores e indutores.

Nota: ν( t ) = V (volts), i( t ) = A (ampères), q( t ) = Q (coulombs), C = F (farads), R = Ω (ohms), G =(mhos), L = H (henries)

Componente Tensão-corrente Corrente-tensão Tensão-carga

Impedância

Z(s) = V(s)/I(s)

Admitância

Y(s) = I(s)/V(s)

As equações de um circuito elétrico obedecem às leis de Kirchhoff, que

estabelecem:

• A soma algébrica das diferenças de potencial ao logo de um circuito fechado é

igual a zero.

• A soma algébrica das correntes em uma junção ou nó é igual a zero.

A partir destas relações podemos escrever as equações diferenciais do

circuito. Aplica-se, então, a Transformada de Laplace das equações e finalmente se

soluciona a Função de Transferência.

Exemplo:

Obter a função de transferência relacionando a tensão, VC(s), no capacitor à tensão

de entrada, V(s), da figura 1.

Figura 1 - Circuito RLC.

Resolução:

Utilizando as leis de Kirchhoff, obteremos a equação diferencial para o circuito.

Somando as tensões ao longo da malha, supondo condições iniciais nulas, resulta a

equação íntegro-diferencial.

0

( ) 1

( ) ( ) ( )

t L di t Ri t i d v t

dt C

+ + ∫ τ τ =

Fazendo uma mudança de variável, de corrente para carga, usando a relação

i(t) = dq(t) / dt resulta:

2

2

( ) ( ) 1

L d q t R dq t q(t) v(t)

dt dt C

+ + =

A partir da relação tensão-carga em um capacitor